Высшая математика для студентов технических университетов

 

Непрерывность функций и точки разрыва

Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

  • Элементы векторной алгебры
    • Определение
      •  Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.    
      • Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.  
      • Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.  
      • Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.  Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.  
      • Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.   Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.  

Теория и задачи на вычисления пределов

  • Сравнение бесконечно малых Пусть фиксирована некоторая база $ \mathcal{B}$ и на некотором её окончании $ E$ заданы две функции $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$, бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$. Предположим также, что $ \psi(x)\ne0$ при всех $ x\in E$. Пусть существует $\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L.$
    • Пусть требуется вычислить ранг матрицы $ A$ размеров $ m\times n$ . Если матрица $ A$ нулевая, то по определению $ {{\rm Rg}A=0}$ . В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что $ {a_{11}\ne0}$ .
    • Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . В результате вторая строка принимает вид $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{22}^{(1)}&\dots&a_{2n}^{(1)}\end{array}\right).$
  • Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
    • Вернемся к задаче, поставленной в начале главы: можно ли в поле комплексных чисел решить любое квадратное уравнение (пока только с вещественными коэффициентами)? Для квадратного уравнения $ {x^2+1=0}$ мы одно решение знаем: $ {x_1=i}$ . Очевидно, что $ {(-i)^2=i^2=-1}$ , поэтому $ {x_2=-i}$ . Следовательно, оба корня такого уравнения известны.
  • Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
    • Пусть $ {z=a+bi}$ . Положим $ {r=\vert z\vert}$ , $ {{\varphi}=\arg z}$ . Из рисунка 17.4 очевидно, что
    • $\displaystyle a=r\cos{\varphi},\quad b=r\sin {\varphi}.$
    • Тогда $ {z=r\cos{\varphi}+(r\sin{\varphi})i}$ . Это выражение запишем в виде $\displaystyle z=r(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).$
    • Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде $ {a+bi}$ называют иногда алгебраической формой комплексного числа.
    • Примеры
  • Извлечение корня из комплексного числа
    • Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения $\displaystyle z^n=w,$ где неизвестным служит $ z$ , а $ w$  -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде $ {z=\sqrt[n]
w}$ , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень $ n$ -ой степени из комплексного числа $ w$
    • Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .
  • Корни многочленов

Возрастание и убывание функции Метод Ньютона (метод касательных)

  • Асимптоты графика функции
  • Возрастание и убывание функции
  • Экстремум функции и необходимое условие экстремума Напомним определение локального экстремума функции.
  •         Определение 7.4   Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$, $ {{\delta}>0}$, некоторой точки $ x_0$ своей области определения. Точка $ x_0$ называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности $ E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$ ($ \forall x\in E$), и точкой локального минимума, если $ f(x)\geqslant f(x_0)$ $ \forall x\in E$.     
  • Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.
  • Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка $ x_0$ была точкой локального экстремума функции $ f(x)$.
  • Достаточные условия локального экстремума
  • Выпуклость функции
  •        Определение 7.5   Функция $ f(x)$ называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при $ x_0,x_1\in(a;b)$.
    Пусть $ x_0<x_1$. Тогда любую точку отрезка $ [x_0;x_1]$ можно задать как $ {x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0}$, $ {\alpha}\in[0;1]$, а любую точку хорды -- как $ {(x_{{\alpha}};{\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$. Выражение $ {\ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$ задаёт линейную функцию переменного $ {x=x_{{\alpha}}}$, график которой на отрезке $ {[x_0;x_1]}$ совпадает с хордой.
  • Пусть дана функция $ f(x)$. Для её исследования нужно:
  • 1). Найти её область определения $ \mathcal{D}(f)$. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений $ \mathcal{E}(f)$. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения $ \mathcal{E}(f)$ откладывается до нахождения экстремумов функции.)
  • 2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси $ Ox$), не является ли она периодической.
  • 3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента $ x$ к граничным точкам области определения $ \mathcal{D}(f)$, если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.
  • Примеры исследования функций и построения графиков
    • Пример  Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ и построим её график.
    • Пример   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$ и построим её график.
    • Пример   Исследуем функцию $ f(x)=(x^2-2x)e^x$ и построим её график.
  • Упражнения и задачи
    • Упражнение Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: $ f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$;
    • Упражнение   Найдите стационарные точки функции $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$

Приближённое нахождение корней уравнений

  • Отделение корней Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения $ f(x)=0$ заранее требуется знать какой-либо отрезок $ [a;b]$, на котором лежит искомый корень $ x^*$, и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения $ f(x)=0$). В этом случае говорят, что корень $ x^*$ отделён на отрезке $ [a;b]$. Отделить корень -- значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.
  • Пример
  • Метод простого перебора
  • Метод половинного деления
  • Метод простых итераций
  • Метод секущих
  • В качестве функции $ {\lambda}(x)$ берут любую постоянную $ {\lambda}_0$, знак которой совпадает со знаком производной $ f'(x)$ в окрестности $ E$ (и, в частности, на отрезке, соединяющем $ x_0$ и $ x^*$). Постоянная $ {\lambda}_0$ не зависит также и от номера шага $ i$. Тогда формула итераций оказывается очень проста:
  • $\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i),$
  • и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции $ f(x)$.
  • Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков $ f'$ и $ {\lambda}_0$. Рассмотрим прямую, проходящую через точку $ (x_i;f(x_0))$ на графике $ y=f(x)$ с угловым коэффициентом $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$. Тогда уравнением этой прямой будет $\displaystyle y=f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).$
  • Пример   Решим методом Ньютона всё то же уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$,
 
Мащиностроительное черчение