Типовые расчеты по математике Производная

Первобытное и «примитивное»
искусство
Истоки христианского искусства
Индия и Китай Западная Азия
Эллада
Древнехристианская эпоха
Магометанское искусство в Индии
Дальнейшее развитие христианства
в Европе
Архитектура Запада
Романский стиль. Готика
Италия в эпоху возрождения
Фламандская и Голландская школы
Современные интерьеры
общественных зданий
Эмоциональный потенциал
архитектуры
История искусства
Об условном развитии
пространства
О масштабе и образе
Форма, материал, цвет
О  компонентах интерьера
Язык архитектуры
Дизайн архитектурной среды
Стиль модерн Ар Нуво
Промышленные выставки
Искусство Западная Европа
Искусство Россия
Архитектура и скульптура
Живопись Россия
Импрессионизм
Эпоха Возрождения
Искусство Испании
Искусство Голландии
Европа и Россия XVIII век
Формирование
История искусства
  • Доисторическая эпоха
  • Изображении божеств Египта
  • Индия и Китай Буддизм
  • Западная Азия
  • Искусство у египтян, вавилонян и персов
  • Архитектура
  • Жертвоприношение Ифигении
  • При раскопках Помпеи
  • Культ Аполлона
  • Регалии древних царей Рима
  • Идеи христианства
  • Расцвет древнехристианского искусства
  • Сасаниды
  • Постройки Индии
  • В Михайловском храме
  • Лобное место
  • Первые мастера и живописцы
  • Одежда XI—XVII веков
  • Возрождение Италии
  • Микеланджело
  • Тициан Вечеллио
  • Брабантская школа фламандцев
  • Директория и империя
  • Эпоха петровских преобразований
  • Кандинский — теоретик искусства
    Математика
    Математический анализ
    Математика лекции и примеры решения задач
    Векторная алгебра
    Интеграл Фурье
    Вычисление интегралов
    Поверхностный интеграл первого рода
    Матрицы и определители
    Типовые расчеты по математике
    Расчет электрических цепей
    Электротехника
    Курс физики кинематика Задачи
    Методы расчета сложных цепей
    Физика Задачи примеры решения
    Электротехника расчет цепей
    Задачи по электротехнике
    Примеры решения задач
    к контрольной работе
    .
    Мащиностроительное черчение
    Начертательная геометрия
    Черчение
    Техническая механика
    Инженерная графика
    Информатика
    Локальные компьютерные сети
    Базы данных Access
    Информационные сети
    Аппаратура передачи данных
    Доступ к корпоративным
    базам данных
    Локальные и глобальные сети
    Информатика
    Администрирование баз
    данных
    Атомные станции
    Воздействие радиации на человека
    Экология энергетики
    Энергетика

     

    • Мгновенная скорость при прямолинейном движении
      Число $ v_+(x_0)$ мы будем называть правой производной, или производной справа, функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначать $ f'_+(x_0)$ или $ f'(x_0+)$, а число $ v_-(x_0)$-- левой производной, или производной слева, функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначать $ f'_-(x_0)$ или $ f'(x_0-)$. Иногда для уточнения говорят, что эти производные вычислены по переменной $ x$.

      Напомним ещё раз, что механический смысл как левой, так и правой производной координаты $ y=f(x)$ по времени $ x$-- это мгновенная скорость движения, вычисленная в момент $ x_0$, но либо по интервалам времени, предшествующим $ x_0$, либо по интервалам, последующим $ x_0$. Эти две мгновенных скорости не обязаны, вообще говоря, совпадать: если тело покоилось до момента $ x_0$, а затем двинулось с постоянной скоростью $ v>0$, то мгновенная скорость, вычисленная по предшествующим интервалам, очевидно, равна $ f'_-(x_0)=0$ (так как до момента $ x_0$ тело покоилось), а мгновенная скорость, вычисленная по последующим интервалам времени, равна $ f'_+(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{vh}{h}=v$ ($ vh$-- это изменение координаты $ y$ точки, движущейся со скоростью $ v$, за промежуток времени продолжительности $ h$ с момента $ x_0$ до момента $ x_0+h$). Эти две мгновенных скорости различны

    • В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

    • Касательная к кривой на плоскости
    • Производная
    • Производная композиции
      • Пусть $ f(u)$ и $ {\varphi}(x)$ -- такие числовые функции, что определена их композиция $ g(x)=(f\circ{\varphi})(x)=f({\varphi}(x))$. Предположим, что функция $ {\varphi}(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x_0$, а функция $ f(u)$ -- в некоторой окрестности точки $ u_0={\varphi}(x_0)$. Тогда имеет место следующее утверждение.
      •         Теорема 4.4   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную $ {\varphi}'(x_0)$, а функция $ f(u)$ -- производную $ f'(u_0)$, то композиция $ g(x)=f({\varphi}(x))$ имеет производную $\displaystyle g'(x_0)=f'(u_0){\varphi}'(x_0).$

    Свойства дифференцируемых функций

    Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

    Замечания

    Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших

    Сравнение бесконечно больших величин

    Примеры

    Примеры   

    Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

    • Системы координат
      • Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.
    • Параллельный перенос системы координат Системы линейных уравнений

    • Кривые второго порядка
    • Окружность
    • Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.
    • Определение Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.
    • Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.
    • Эллипс Определение   Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.         
    • Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость $ \Pi$ окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью $ \Pi$ .
    • В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.
      • Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси $ Ox$ и $ Oy$ , начало координат -- центр симметрии.
    • Гипербола
    • Парабола В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.  Определение Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.         
      • Пример   Постройте параболу $ y^2=3x$ . Найдите ее фокус и директрису.
    • Параллельный перенос системы координат
      •  Пример   Нарисуйте кривую $ {x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.
      • Пример   Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$
    • Сфера Определение Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.
    • Эллипсоид
      • Определение Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$ где $ a$ , $ b$ , $ c$ -- положительные числа.

    Линейные пространства уравнения

    Теорема     
    Пример   Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

     

     
    • Определение вектора Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики.
    • Определение 10.1 Вектором называется направленный отрезок.
    • Таким образом, вектор-- это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.
    • Операции над векторами
    • Разложение вектора по базису Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости-- двумерным векторным пространством, в пространстве-- трехмерным векторным пространством.
    • Легко проверить, что если $ L$ -- какое-то векторное пространство, $ {\bf a},{\bf b}
\in L$ , $ {\alpha}$ -- число, то $ {{\bf a}+{\bf b}}\in L$ и $ {\alpha}{\bf a}\in L$ .
    • Линейная зависимость векторов
    • Система координат и координаты вектора
    • Пусть в пространстве задана некоторая ось $ l$ , то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка $ O$ и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.
    • Определение Проекцией точки$ A$ на ось $ l$ называется число, соответствующее основанию перпендикуляра $ AB$ , опущенного на ось $ l$ из точки $ A$ .
    • Определение Проекцией вектора $ \overrightarrow {AB}$ на ось$ l$ называется разность проекций конца вектора и его начала.
    • Скалярное произведение
    • Векторное произведение
    • Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.
    • Определение Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию
      1) $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi}$ , где $ {\varphi}$ -- угол между a и b и, если $ \vert{\bf c}\vert\ne0$ , то еще двум условиям:
      2) вектор c ортогонален векторам a и b;
      3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).
    • Смешанное произведение

    Линия и плоскость в пространстве

    • Теорема Всякое уравнение(11.3), в котором $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору $ {\bf n}=(A,B,C)$ .
    • Изображение плоскости
    • Угол между плоскостями
    • Пусть плоскости $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ заданы соответственно уравнениями $ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между этими плоскостями.
    • Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку $ M$ на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры $ l_1$ и $ l_2$ к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ с началами в точке $ M$
    • Расстояние от точки до плоскости
    • Прямая на плоскости Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость. Так как формулы(11.1), (11.3), (11.4), (11.5), (11.6), (11.7) основывались на нормальном векторе к плоскости, то они остаются верными и для прямой на плоскости, если из них исключить третью координату. Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве.
    • Прямая в пространстве
    • Основные задачи на прямую и плоскость
    • Пример Найдите точку пересечения прямой $ \frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости $ {x+y+2z-1=0}$ .

    Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

    Пример Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ :

    Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

    • Топологическое произведение пространств  Определение. Множество E´F, превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F.
      • Уравнение линии на плоскости Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
      •   Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:   , (1) где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.  
      • Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.    
      • Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
      • Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица А =  называется матрицей системы, а матрица А*=  называется расширенной матрицей системы  
      • Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.
    Мащиностроительное черчение