Общие свойства пределов

В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

Теорема 2.8 Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе $ \mathcal{B}$:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$
Тогда функция $ h(x)=f(x)+g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен сумме пределов слагаемых:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)+\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1+L_2=L.$

Доказательство. Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$-- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$-- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$-- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма

$\displaystyle {\alpha}(x)+{\beta}(x)=(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)=h(x)-L$

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность $ h(x)-L$ бесконечно мала, означает, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.

Замечание 2.2 В доказанной теореме не утверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть $ f(x)=x$ и $ g(x)=-x$. Тогда $ f(x)+g(x)=0$ и предел $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)+g(x))=0$, в то время как пределы при $ x\to\pm\infty$ функций $ f(x)$ и $ g(x)$ не существуют. Площадь криволинейной трапеции Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.

Теорема 2.9 Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе $ \mathcal{B}$:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$
Тогда функция $ h(x)=f(x)g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен произведению пределов сомножителей:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)\cdot\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1L_2=L.$

Доказательство. Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$-- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$-- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$-- бесконечно малая. Поэтому $ f(x)=L_1+{\alpha}(x)$ и $ g(x)=L_2+{\beta}(x)$, откуда

$\displaystyle f(x)g(x)=(L_1+{\alpha}(x))(L_2+{\beta}(x))=L_1L_2+L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x)$

или

$\displaystyle f(x)g(x)-L_1L_2=L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x).$

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина $ L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)$-- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина $ {\alpha}(x){\beta}(x)$-- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина $ {\beta}(x)$ имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией $ h(x)=f(x)g(x)$ и постоянной $ L=L_1L_2$ бесконечно мала при базе $ \mathcal{B}$, то по теореме 2.4 $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.

Теорема 3.6   Из интегрируемости функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ следует, что она интегрируема и на любом отрезке $ [a';b']\sbs[a;b]$ .

        Доказательство.     Рассмотрим для любого разбиения $ X$ отрезка $ [a;b]$ то разбиение $ X'$ отрезка $ [a';b']$ , которое получается, если включить в $ X'$ те точки из $ X$ , которые попадают на отрезок $ [a';b']$ . Если $ \ul S(X')$ и $ \ov S(X')$  -- нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие $ X'$ , то легко видеть, что

$\displaystyle 0\leqslant \ov S(X')-\ul S(X')\leqslant \ov S(X)-\ul S(X).$

Поэтому если функция интегрируема на $ [a;b]$ , то есть суммы $ \ov S(X)$ и $ \ul S(X)$ имеют общий предел при измельчении разбиения, то и суммы $ \ov S(X')$ и $ \ul S(X')$ будут иметь общий предел, так как их разность стремится к 0, причём $ \ov S(X')$ не увеличиваются, а $ \ul S(X')$ не уменьшаются при добавлении дополнительных точек для измельчения разбиения. Наличие общего предела у $ \ov S(X')$ и $ \ul S(X')$ означает интегрируемость $ f(x)$ на $ [a';b']$ .     

Вследствие доказанной теоремы мы можем теперь освободиться в теореме об аддитивности интеграла от требования, чтобы функция была интегрируема на каждом из двух отрезков $ [a;c]$ и $ [c;b]$ , на которые разбивается отрезок $ [a;b]$ : интегрируемость на этих двух отрезках автоматически следует из интегрируемости на $ [a;b]$ . Более того, справедливо следующее замечание.

        Замечание 3.2   Добавляя отрезки по одному, мы получаем такое утверждение: если отрезки $ [a_0;b_0],\ [a_1;b_1],\ \dots,\ [a_m;b_m]$ расположены на оси $ Ox$ один за другим, то есть $ b_0=a_1$ , ..., $ b_{m-1}=a_m$ , и функция $ f(x)$ интегрируема на объединении отрезков $ [a_j,b_j]$ , $ j=0,\dots,m$ , то есть на $ [a_0;b_m]$ , то она интегрируема на каждом из частичных отрезков $ [a_j;b_j]$ , причём

$\displaystyle \int_{a_0}^{b_m}f(x)\;dx=\sum_{j=0}^m\int_{a_j}^{b_m}f(x)\;dx.$

Это равенство также выражает свойство аддитивности определённого интеграла, применительно к разбиению отрезка на конечное число частей.     

Аддитивность в сочетании с утверждением теорем об интегрируемости монотонной и непрерывной функций даёт следующее предложение.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

  Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

Мащиностроительное черчение