Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики.

Определение 10.1 Вектором называется направленный отрезок.

Таким образом, вектор-- это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.

В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов: $ {\bf a},\quad \overline{a},
\quad \vec{a},\quad \overline{AB},\quad
\overrightarrow {AB}$ . В двух последних случаях $ A$ -- обозначение точки, являющейся началом вектора, $ B$ -- концом вектора. В тексте этого учебника будут использоватся первое и последнее из перечисленных обозначений.




Рис.10.1.Изображение векторов

Определение 10.2 Два вектора называются равными, то есть не различаются как векторы, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.

Если считать, что на рисунке 10.1 векторы лежат в одной плоскости, то $ {{\bf a}={\bf c}}$ , то есть a и c-- разные обозначения одного и того же вектора. Векторы a и $ \overrightarrow {AB}$ при равных длинах не равны друг другу, так как имеют разные направления. В соответствии с введенным равенством векторов слова "вектор параллелен прямой (плоскости)" и "вектор лежит на прямой (плоскости)" означают одно и то же, так как направленный отрезок можно передвинуть параллельно самому себе, вектор при этом не изменится.

Определение 10.3 Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.

Определение 10.4 Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Определение 10.5 Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

Модуль вектора a обозначается $ \vert{\bf a}\vert$ . Вектор a называется единичным, если $ {\vert{\bf a}\vert=1}$ .

К множеству векторов необходимо добавить еще один объект, который мы будем называть нулевым вектором. Его можно рассматривать как отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Все нулевые векторы равны друг другу. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.

В соответствии с принятыми выше обозначениями следовало бы нулевой вектор обозначать 0, но принято обозначать 0. По контексту всегда ясно, чем является 0, числом или вектором.

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Будем предполагать, что функция $ f(x)$ имеет на отрезке интегрирования $ [a;b]$ вторую производную $ f''(x)$ , и $ f''(x)$ непрерывна на $ [a;b]$ , причём

 

$\displaystyle \vert f''(x)\vert\leqslant M_2$ при всех $\displaystyle x\in[a;b].$

Для метода центральных прямоугольников представим ошибку $ {\varepsilon}_R$ в виде суммы ошибок на каждом отрезке разбиения:

$\displaystyle {\varepsilon}_R=I-I_R=
 \int_a^bf(x)\;dx-\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}})(x_i-x_{i-1})=$   
$\displaystyle \sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\;dx
 -\sum_{i=1}^nf(x_{i-\fr...
...(x_i-x_{i-1})
 =\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-f(x_{i-\frac{1}{2}})\;dx.$   

По формуле Тейлора, применённой к функции $ f(x)$ в точке $ x_{i-\frac{1}{2}}$ , получаем для $ {x\in[x_{i-1};x_i]}$ :

$\displaystyle f(x)=f(x_{i-\frac{1}{2}})+f'(x_{i-\frac{1}{2}})(x-x_{i-\frac{1}{2}})+
\frac{1}{2}f''(\wt x)(x-x_{i-\frac{1}{2}})^2,$

где $ \wt x\in[x_{i-1};x_i]$  -- некоторая точка, лежащая между $ x$ и $ x_{i-\frac{1}{2}}$ .

Заметим, что

$\displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i}
f'(x_{i-\frac{1}{2}})(x-x_{i-\frac{1}{2}})dx=
f'(x_{i-\frac{1}{2}})
\int_{x_{i-1}}^{x_i}
(x-x_{i-\frac{1}{2}})dx=0,$

поскольку $ x_{i-\frac{1}{2}}$  -- середина отрезка интегрирования в этом интеграле. Получаем тогда, что

$\displaystyle \Bigl\vert\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-f(x_{i-\frac{1}{2}}))\;dx\Big...
...{2}\int_{x_{i-1}}^{x_i}f''(\wt x)(x-x_{i-\frac{1}{2}})^2\;dx\Bigr\vert\leqslant$   
$\displaystyle \leqslant 
 \frac{M_2}{2}\int_{x_{i-1}}^{x_i}(x-x_{i-\frac{1}{2}}...
...{M_2}{6}(x-x_{i-\frac{1}{2}})^3\Bigl\vert _{x_{i-1}}^{x_i}=\frac{M_2}{24}h_i^3,$   

где $ h_i=x_i-x_{i-1}$ . Таким образом, суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем оценку ошибки:

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_R\vert\leqslant \frac{M_2}{24}\sum_{i=1}^nh_i^3.$

Если все отрезки разбиения имеют одинаковую длину $ h_i=h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то получаем

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_R\vert\leqslant
\frac{M_2}{24}nh^3=
\frac{M_2}{24}(nh)\cdot h^2=
\frac{M_2(b-a)}{24}\cdot h^2,
$

или

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_R\vert\leqslant
\frac{M_2}{24}nh^3=
\frac{M_2}{24}\cdot\frac{n^3h^3}{n^2}=
\frac{M_2(b-a)^3}{24}\cdot\frac{1}{n^2}.
$

Следовательно, при уменьшении вдвое шага разбиения $ h$ , то есть при удвоении числа шагов $ n$ , оценка возможной ошибки уменьшается вчетверо, а при уменьшении шага в 10 раз оценка ошибки уменьшается в $ 10^2=100$ раз. Квадратурную формулу, обладающую таким свойством ошибки, называют формулой второго порядка точности. Итак, формула центральных прямоугольников -- формула второго порядка точности.

 

Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

 Рассмотрим интегралы вида

I. .

II. .

III. .

IV. .

 Выделяя из квадратного трехчлена ах2 +bx + c полный квадрат запишем его в виде ах2 +bx + c = а(х +b)2 + q. Если в интегралах I, II, III сделать замену х + b = z, то получим интегралы

I¢. .

II¢. .

III¢. .

 

Мащиностроительное черчение