Лекции и конспекты по математике Примеры
решения задч
Пусть задана зависимость двух переменных
и
от параметра
, изменяющегося в пределах от
до
:
![]()
Пусть функция
имеет обратную:
. Тогда мы можем, взяв композицию функций
и
, получить зависимость
от
:
. Зависимость величины
от величины
, заданная через зависимость каждой из них от параметра
в виде
, называется функцией
, заданной параметрически.
Производную функции
, заданной параметрически, можно выразить через производные функций
и
: поскольку
и, по формуле производной обратной функции,
, то
![]()
где
-- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение
.
Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между
и
, снова выраженной в виде параметрической зависимости:
,
; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции
. Несмотря на то, что производная не выражена через
в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра
. Покажем это на следующем примере.
Пример 4.22 Пусть зависимость междуи
задана параметрически следующими формулами:
Найдём уравнение касательной к графику зависимостив точке
.
Значенияи
получаются, если взять
. Найдём производные
и
по параметру
:
Поэтому
Приполучаем значение производной
это значение задаёт угловой коэффициентискомой касательной. Координаты
и
точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково:
![]()
Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости
,
, мы можем отыскать вторую производную функции
по переменной
:
Пример 4.23 Пусть дана та же зависимость междуи
, что в предыдущем примере:
Найдём выражение для второй производнойчерез параметр
. Ранее мы получили, что
. Поэтому
; производную
мы нашли выше. Получаем:
![]()
Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить
в формулу
; при этом получим:
![]() | (4.17) |
Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х2+у2+2х=0; z=25/4 –y2; z=0.
Решение:
Преобразуем уравнение х2+у2+2х=0 к виду (х+1)2+у2=1. Это есть уравнение прямого кругового цилиндра, направляющей служит окружность (х+1)2+у2=1 с центром в точке (-1, 0)и радиусом, равным 1. Второе уравнение z=25/4 –y2 - есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси ох , направляющей служит парабола z=25/4 –y2 на плоскости yz . Третья поверхность z=0 есть плоскость ху .Построим эти поверхности (рис. 16.а).
Рис.16.
Тело W снизу ограничено поверхностью z=0, сверху – поверхностью z=25/4 –y2, и проекция W на плоскость ху совпадает с основанием D этого тела. Поэтому
Полученный
интеграл будем вычислять в полярной системе координат. Уравнение х2+у2+2х=0 в
этой системе имеет вид r =-2cosj. Область D записывается в виде . Таким образом,
Ответ: VW=6p
б). Подынтегральная
функция непрерывна и удовлетворяет соотношению
при
, поэтому имеем следущее сопоставление интегралов:
; стало быть, «меньший» интеграл
расходится, а поэтому «больший» интеграл и подавно будет расходиться согласно
общему признаку сравнения (формула (4.3)). Итак, исследуемый интеграл расходящийся.
Упражнение 5. Исследовать сходимость интегралов:
а). ; б).
.