Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Если множество $ A=\mathcal{D}(f)$ бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция $ f:x\mapsto y$ может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента $ x$ найти соответствующее ему значение $ y$, например:

$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \arcsin x,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[-1;1];$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
x^2\mbox{, если }x\geqslant 0,\\
-x^2\mbox{, если }x<0,
\end{array}\right.,\quad
\mbox{ при }\mathcal{D}(f)=\mathbb{R};$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \sqrt[4]{x},$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[0;+\infty);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln(1-x),$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;1);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln x_1x_2,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\sbs\mathbb{R}^2.$ 


 

 

        Замечание 1.3   Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах $ A$, считаются различными. Так, функция $ f(x)=\arcsin x$ при $ x\in[0;1]$ и функция $ g(x)=\arcsin x$ при $ x\in[-1;1]$ -- это две разные функции, так как функция $ f$ устанавливает соответствие между точками множества $ [0;1]$ и некоторыми точками числовой прямой, а функция $ g$ -- между точками другого множества $ [-1;1]$ и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции -- "близкие родственники", так как $ {f(x)=g(x)}$ при всех $ {x\in[0;1]}$.     

 

 

 

        Определение 1.6   Если дана функция $ f:A\to B$, и $ \wt A\sbs A$, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции $ f$ только на элементах $ x\in\wt A$. Эта функция $ \wt f:\wt A\to B$ определена равенством $ \wt f(x)=f(x)$ при $ x\in\wt A$. Функция $ \wt f$ называется ограничением функции $ f$ на подмножество $ \wt A\sbs A$ её области определения $ A=\mathcal{D}(f)$ и обозначается $ f\vert _{\wt A}$, то есть $ \wt f=f\vert _{\wt A}$.     

 

 

 

        Пример 1.12   Пусть $ A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция $ f$ задана формулой
$\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$
Рассмотрим на плоскости $ A$ подмножество -- прямую линию $ L$, заданную уравнением $ x+y=1$. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции $ f\vert _L$ точки только прямой $ L$. Ограничение $ f\vert _L(x;y)$ определено только при $ x+y=1$, поэтому его, кроме исходной формулы
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,$
можно задать такими формулами:
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1$(1.1)

(так как $ y=1-x$ на прямой $ L$), или
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1$(1.2)

(так как $ x=1-y$ на прямой $ L$). Во всех точках $ (x;y)$ прямой $ L$ все три формулы дают одно и то же значение функции $ f\vert _L$. Мы видим, что формула (1.1) даёт для $ f\vert _L$ те же значения, что функция одного переменного $ x$: $ f_1(x)=-2x^2+4x-1$, а формула (1.2) -- те же значения, что функция одного переменного $ y$: $ f_2(y)=-2y^2+1$.
Две последние функции называются параметризациями ограничения $ f\vert _L$.     

Рассмотрим функцию $ f(x)$ и такой промежуток $ J\sbs\mathbb{R}$ , на котором $ f(x)$ имеет несколько особенностей. Будем считать, что особенности имеются в тех точках промежутка, при приближении к которым функция имеет неинтегрируемые разрывы11, а также в $ -\infty$ и $ +\infty$ , если они являются концами рассматриваемого промежутка $ J$ .

Итак, пусть $ f(x)$ имеет особенности в $ c_1,\ c_2,\ \dots,\ c_n$ , где, возможно, $ c_1=-\infty$ и $ c_n=+\infty$ , а все оставшиеся $ c_i$  -- точки оси $ Ox$ . Точки $ c_i$ разбивают промежуток $ J$ на части -- интервалы $ (c_{i-1};c_i)$ , где внутри интервалов функция уже не имеет особенностей, то есть интегрируема по любому отрезку $ [c';c'']\sbs(c_{i-1};c_i)$ . Если промежуток $ J$  -- это отрезок $ [a;b]$ и в точках $ a$ и $ b$ функция не имеет особенностей, то к интервалам $ (c_{i-1};c_i)$ добавляются ещё полуинтервалы $ [a;c_1)$ и $ (c_n;b]$ с особенностями только в точках $ c_1$ и $ c_n$ . Выберем в каждом из интервалов $ (c_{i-1};c_i)$ по точке $ d_i$ . Тогда на полуинтервалах

Мащиностроительное черчение