Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пусть $ {z=a+bi}$ . Положим $ {r=\vert z\vert}$ , $ {{\varphi}=\arg z}$ . Из рисунка 17.4 очевидно, что

$\displaystyle a=r\cos{\varphi},\quad b=r\sin {\varphi}.$

Тогда $ {z=r\cos{\varphi}+(r\sin{\varphi})i}$ . Это выражение запишем в виде

$\displaystyle z=r(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).$(17.8)
 


Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде $ {a+bi}$ называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы (17.8) можно было бы просто записывать пару $ r,{\varphi}$ , но запись (17.8) принята в силу традиции.

        Замечание 17.3   При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения $ \cos{\varphi}$ и $ \sin{\varphi}$ , иначе мы потеряем явное указание аргумента $ z$ и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол $ {\varphi}$ получился отрицательным, то знак "$ -$ " НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.          

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

 

  Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

 

 у

 А М(х, у)

 

 

 

 

 

 


  О F x

 


  p/2 p/2

  [an error occurred while processing this directive]

  Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

  Из геометрических соотношений: AM = MFAM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

y2 = 2px

 

 Уравнение директрисы: x = -p/2.

 

Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

 

  Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

Установить абсолютную сходимость интеграла: .

 Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где  интегрируема и ограничена, то есть:

(7)  ;

а функция  при  непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8) .

Мащиностроительное черчение