Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

$\displaystyle e^{i{\varphi}}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi},$(17.10)


которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число $ z$ в тригонометрической форме имеет вид $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

$\displaystyle z=re^{i{\varphi}}.$

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь $ {r=\vert z\vert}$ , $ {{\varphi}=\arg z}$ .

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

 Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

 Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

 Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

 .

 

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Установить абсолютную сходимость интеграла: .

 Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где  интегрируема и ограничена, то есть:

(7)  ;

а функция  при  непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8) .

Мащиностроительное черчение