Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Степенная функция. Это функция вида $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Рассматриваются такие случаи:

а). Если $ {\alpha}\in\mathbb{N}$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$; если число $ {\alpha}$ -- чётное, то и функция $ f$ -- чётная (то есть $ f(-x)=f(x)$ при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$); если число $ {\alpha}$ -- нечётное, то и функция $ f$ -- нечётная (то есть $ f(-x)=-f(x)$ при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$).

Рис.1.11.График степенной функции при $ {\alpha}=1,2,3,4$

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .



б). Если $ {\alpha}\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}\leqslant 0$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для $ {\alpha}>0$: если $ {\alpha}$ -- чётное число, то и $ f(x)=\dfrac{1}{x^{-{\alpha}}}$ -- чётная функция; если $ {\alpha}$ -- нечётное число, то и $ f(x)$ -- нечётная функция.

Рис.1.12.График степенной функции при $ {\alpha}=0,-1,-2,-3$


Снова заметим, что $ f(1)=1$ при всех $ {\alpha}$. Если $ {\alpha}=0$, то $ {f(x)=x^0=1}$ при всех $ x$, кроме $ x=0$ (выражение $ 0^0$ не имеет смысла).

в). Если $ {\alpha}$ -- не целое число, то, по определению, при $ {\alpha}>0$: $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\geqslant 0\}$; тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$.

Рис.1.13.График степенной функции при $ {\alpha}>0$


При $ {\alpha}<0$, по определению, $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$; тогда $ f(1)=1$.

Рис.1.14.График степенной функции при $ {\alpha}<0$


        Пример 2.5   Найдём интеграл

$\displaystyle \int\cos^4x\,dx.$

Подынтегральную функцию можно преобразовать, понизив степень:

$\displaystyle \cos^4x=(\cos^2x)^2=\frac{1}{4}(1+\cos2x)^2=
 \frac{1}{4}(1+2\cos2x+\cos^22x)=$   
$\displaystyle =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos2x+
 \frac{1}{8}(1+\cos4x)=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos4x.$   

Поэтому

$\displaystyle \int\cos^4x\,dx=
 \frac{3}{8}\int\,dx+\frac{1}{2}\int\cos2x\,dx+
 \frac{1}{8}\int\cos4x\,dx=$   
$\displaystyle =\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin2x+
 +\frac{1}{32}\sin4x+C.$   

    

В более сложных случаях преобразовывать подынтегральную функцию можно разными способами и, соответственно, по-разному сводить исходный интеграл к табличным. Следует помнить, однако, что формально различные первообразные на самом деле либо совпадают, либо различаются на постоянное слагаемое. Приведём пример, в котором разные преобразования приводят к несовпадающим ответам.

        Пример 2.6   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx.$

Заменяем множители подынтегральной функции по формулам:

$\displaystyle \cos^4x=(\cos^2x)^2=\frac{1}{4}(1+\cos2x)^2=
 \frac{1}{4}(1+2\cos2x+\cos^22x)=$   
$\displaystyle =\frac{1}{4}(1+2\cos2x+\frac{1}{2}(1+\cos4x));
 \sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos2x)$   

и получаем:

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx=
 \frac{1}{8}\int\bigl(1+2\cos2x+\frac{1}{2}(1+\cos4x)\bigr)(1-\cos2x)dx=$   
$\displaystyle =\frac{1}{8}\int\Bigl(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}\cos4x-
 2\cos^22x-\frac{1}{2}\cos2x\cos4x\Bigr)dx=$   
$\displaystyle =\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\sin2x+\frac{1}{64}\sin4x-
 \frac{1}{8}\int(1+\cos4x)dx-\frac{1}{32}\int(\cos6x+\cos2x)dx.$   

Мы применили вновь формулу понижения степени для $ \cos^22x$ , а также преобразовали произведение $ \cos2x\cos4x$ в сумму. Далее получаем:

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx=$   
$\displaystyle =\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\sin2x+\frac{1}{64}\sin4x-
 \frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin4x-\frac{1}{192}\sin6x-\frac{1}{64}\sin2x+C=$   
$\displaystyle =\frac{1}{16}x+\frac{1}{64}\sin2x-\frac{1}{64}\sin4x-
 \frac{1}{192}\sin6x+C.$   

Другой способ преобразований таков:

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx=
 \frac{1}{8}\int(1+\cos2x)^2(1-\cos2x)dx=
 \frac{1}{8}\int(1-\cos^22x)(1+\cos2x)dx=$   
$\displaystyle =\frac{1}{8}\int\sin^22x(1+\cos2x)dx=
 \frac{1}{8}\int(\sin^22x+\sin^22x\cos2x)dx=$   
$\displaystyle =\frac{1}{16}\int(1-\cos4x)dx+\frac{1}{16}\int\sin^22x\,d(\sin2x)=
 \frac{1}{16}(x-\frac{1}{4}\sin4x)+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{3}\sin^32x+C=$   
$\displaystyle =\frac{1}{16}x-\frac{1}{64}\sin4x+\frac{1}{48}\sin^32x+C.$   

Первообразные, стоящие в правых частях формул, тождественно равны друг другу, хотя это видно не сразу. Докажите это при помощи тригономегрических преобразований.     

Мащиностроительное черчение