Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Во многих случаях функцию $ f$ приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример.

        Пример 1.17   Пусть $ a\in\mathbb{R}$ и $ f(a)$ -- это наибольший корень $ x_{\max}$ уравнения $ ax^4+2x^2-3ax+a^2=0$. Этим условием задаётся некоторая функция $ f:a\mapsto x_{\max}$. Её область определения $ \mathcal{D}(f)$ не пуста, так как, например, при $ a=0$ получается уравнение $ 2x^2=0$, у которого имеется единственный корень $ x_{\max}=0$, так что $ f(0)=0$ и, следовательно, $ 0\in\mathcal{D}(f)$. Однако ни выразить значение $ f(a)$ формулой или иным "конечным" образом, ни полностью описать область определения $ \mathcal{D}(f)$ функции $ f$ не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции $ f$ возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений $ f(a)$, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению $ a=a_0$ определять значение $ x_{\max}=f(a_0)$ либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что $ a_0$ не принадлежит $ \mathcal{D}(f)$.
Изменяя число $ a$ в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения $ f(a)$ с заданной наперёд точностью и, например, построить график $ y=f(a)$ по точкам.     

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Требуется: найти уравнения линий уровня поля; найти градиент поля в точке M0 и производную в точке M0 по направлению вектора ;

3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку M0, изобразить вектор  на этом чертеже.

Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения.

Если числовая функция $ f(x)$, где $ x\in A\sbs\mathbb{R}$, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки $ x_k\in A$, $ k=1,\dots,N$, и нанося на координатную плоскость $ xOy$ точки вида $ (x_k;f(x_k))$ и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, -- вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения $ f(x)$ через $ x$.

Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции $ f(x)$ по заданным $ x$, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента $ x$ часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении $ f$, вызванной тремя причинами:

а) приближённостью задания переменного $ x$ (погрешностью аргумента);

б) приближённостью способа получения значения $ f(x)$ (погрешностью метода);

в) приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений).

Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления $ f(x)$. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: "хорошо ли ведёт себя" полученный график $ y=f(x)$, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией $ f$, и по другим косвенным признакам.

 

        Пример 2.13   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}dx.$

Под знаком интеграла -- правильная дробь, поскольку степень числителя, равная 4, меньше степени знаменателя, равной 5. Разложим на множители знаменатель дроби. Это можно сделать, например, группировкой слагаемых:

$\displaystyle x^5-x^4-x+1=(x^5-x^4)-(x-1)=x^4(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^4-1)=
(x-1)^2(x+1)(x^2+1),
$

если учесть, что

$\displaystyle x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).$

Значит, в разложении дроби

$\displaystyle \frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}$

в сумму простейших дробей будут получаться следующие серии слагаемых: множителю $ (x-1)^2$ знаменателя будет соответствовать серия из двух слагаемых, второго и первого типа:

$\displaystyle \frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1};$

множителю $ x+1$  -- одно слагаемое первого типа:

$\displaystyle \frac{C}{x+1};$

множителю $ x^2+1$  -- одно слагаемое третьего типа:

$\displaystyle \frac{Dx+E}{x^2+1}.$

Итак, ищем методом неопределённых коэффициентов разложение подынтегральной дроби в виде

$\displaystyle \frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}=
\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}+\frac{Dx+E}{x^2+1}.$

Приводим правую часть к общему знаменателю. Этот общий знаменатель равен $ {x^5-x^4-x+1=(x-1)^2(x+1)(x^2+1)}$ , так что

$\displaystyle \frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{(x-1)^2(x+1)(x^2+1)}=$   
$\displaystyle =\frac{A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x+1)(x^2+1)+C(x-1)^2+(Dx+E)(x_1)(x-1)^2}<tex2html_comment_mark>78 {(x-1)^2(x+1)(x^2+1)}.$   

Поскольку должны быть тождественно равны эти две дроби с одинаковыми знаменателями, приравниваем числители:

$\displaystyle 2x^4-4x^3+2x^2-4x-4=$   
$\displaystyle =A(x{+}1)(x^2{+}1)+B(x{-}1)(x{+}1)(x^2{+}1)+C(x{-}1)^2(x^2{+}1)+(Dx{+}E)(x{+}1)(x{-}1)^2.$   

Из этого соотношения мы должны найти неизвестные коэффициенты $ A,B,C,D,E.$ Для этого сначала используем подстановку "удобных" значений $ x$ , то есть $ x=1$ и $ x=-1$ , которые обращают в 0 скобки $ (x-1)$ и $ (x+1)$ соответственно. При $ x=1$ получаем: $ -8=A\cdot2\cdot2,$ откуда

$\displaystyle A=-2.$

При $ x=-1$ получаем: $ 8=C\cdot4\cdot2,$ откуда

$\displaystyle C=1.$

Больше "удобных" значений $ x$ нет. Подставим $ x=0$ , то есть приравняем свободные члены левой и правой частей: $ -4=A-B+C+E.$ С учётом того, что $ A=-2$ и $ C=1$ , получаем уравнение

$\displaystyle -B+E=-3.$

Теперь начнём приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $ x$ в левой и правой частях. Приравниваем коэффициенты при $ x^4$ : $ 2=B+C+D.$ С учётом $ C=1$ получаем второе уравнение:

$\displaystyle B+D=1.$

Теперь приравняем коэффициенты при $ x^3$ : $ -4=A-2C-D+E,$ или

$\displaystyle -D+E=0.$

Получили систему из трёх линейных уравнений для трёх неизвестных $ B,D,E$ :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
-B+E=-3;\\
B+D=1;\\
-D+E=0.
\end{array}
\right.
$

Решая эту систему, получаемяяяя

$\displaystyle B=2;\ D=-1;\ E=-1.$

Подставляя найденные коэффициенты, получаем конкретный вид разложения дроби в сумму простейших:

$\displaystyle \frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}=
\frac{-2}{(x-1)^2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{-x-1}{x^2+1}.$

Значит,

$\displaystyle \int\frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}dx=$   
$\displaystyle =-2\int\frac{dx}{(x-1)^2}+2\int\frac{dx}{x-1}+\int\frac{dx}{x+1}-
 \int\frac{x\,dx}{x^2+1}-
 \int\frac{dx}{x^2+1}=$   
$\displaystyle =\frac{2}{x-1}+2\ln\vert x-1\vert+\ln\vert x+1\vert-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+\mathop{\rm arctg}\nolimits x+C=$   
$\displaystyle =\frac{2}{x-1}+\ln\frac{(x-1)^2\vert x+1\vert}{\sqrt{x^2+1}}+\mathop{\rm arctg}\nolimits x+C.$   

Заметим, что ввиду того, что подынтегральная функция имеет разрывы при $ x=-1$ и $ x=1$ , слагаемое $ C$ означает в данной формуле кусочно постоянную функцию, принимающую постоянные (но, может быть, различные) значения на интервалах $ (-\infty;-1)$ , $ (-1;1)$ и $ (1;+\infty)$ .     

Мащиностроительное черчение