Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Заметим, что в методе секущих удобно было бы фиксировать наиболее удобное для первого шага значение $ {\lambda}_0=\dfrac{1}{f'(x_0)}$, при котором все секущие параллельны касательной, проведённой к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$. При таком выборе $ {\lambda}_0$ метод секущих называется методом одной касательной. Формула итераций этого метода имеет вид

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{1}{f'(x_0)}f(x_i).$

Как видно из этой формулы, производную придётся вычислить только один раз, а затем на каждом шаге использовать значение $ {\lambda}_0=\dfrac{1}{f'(x_0)}$ или, что то же, $ k=f'(x_0)$.

Рис.9.12.Итерации метода одной касательной Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры (вывод формулы в полярной системе), длины дуги (вывод формулы в ДСК), объема тела вращения относительно Ox (вывод формулы)

При таком выборе $ {\lambda}_0$ в точке $ x_0$ выполнено равенство

$\displaystyle {\varphi}'(x_0)=1-{\lambda}_0f'(x_0)=0,$

и если отрезок, на котором отделён корень и выбрано начальное приближение $ x_0$, достаточно мал, а производная $ {\varphi}'(x)$ непрерывна, то значение $ {\varphi}'(x^*)$ будет не сильно отличаться от $ {\varphi}'(x_0)=0$ и, следовательно, график $ y={\varphi}(x)$ будет пересекать прямую $ y=x$, идя почти горизонтально. А это, как мы отмечали выше, будет давать нам быстрое приближение итераций к корню (так как число $ {\gamma}$ при этом можно выбрать равным $ \max\limits_x\vert{\varphi}'(x)\vert$, а эта величина мала).

        Пример 9.6   Решим методом одной касательной уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$. (Напомним, что его корень был ранее нами отделён на отрезке $ [-2;-1]$.) Корень будем находить с точностью до $ {\varepsilon}=0.000001$, а для этого вычисления будем вести до тех пор, пока в значении $ x_i$ не зафиксируется шестой знак после десятичного разделителя.
В качестве начального приближения возьмём $ x_0=-2$. Поскольку
$\displaystyle f'(x)=(x^3+2x^2+3x+5)'=3x^2+4x+3,$
то $ f'(x_0)=7$ и $ {\lambda}_0=\frac{1}{7}$. Значит, итерационная формула будет такой:
$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{1}{7}(x_i^3+2x_i^2+3x_i+5).$
По этой формуле последовательно получаем:
$\displaystyle x_1=-1.857143;x_2=-1.845898;x_3=-1.844096;$   
$\displaystyle x_4=-1.843795;x_5=-1.843745;x_6=-1.843736;$   
$\displaystyle x_7=-1.843735;x_8=-1.843734;x_9=-1.843734.$   
 

Восьмое и девятое приближения уже совпадают с точностью $ {\varepsilon}$, поэтому вычисления на этом прекращаем и полагаем $ \wt x=-1.843734$.     
        Упражнение 9.1   Покажите, что итерации расходятся, если начать их с точки $ x_0=-1$, так что второй конец отрезка не годится для начального приближения метода одной касательной. Не забудьте, что значение $ {\lambda}_0$ зависит от начального приближения и потому изменится.
Проверьте, сколько нужно итераций, чтобы найти то же значение корня, начав с $ {x_0=-1.5}$ и с $ {x_0=-2.5}$.
Ответ: Потребуется и в том, и в другом случае 22 итерации.   

Матрицы графов.

 Пусть D = (V, X) – орграф, где V = {v1, …, vn}, X = {x1, … , xm}.

 

 Определение. Матрицей смежности орграфа D называется квадратичная матрица A(D) = [aij] порядка п, у которой

 

 Определение. Если вершина v является крнцом ребра х, то говорят, что v и х инциндентны.

 

 Определение. Матрицей инциндентности оргафа D называется матрица размерности п´т B(D) = [bij], у которой

 

 Пример. Записать матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке.

 

 x1

 


 Составим матрицу смежности:

 

 

v1

v2

v3

v1

0

1

0

v2

1

0

1

v3

1

0

0

 

 Т.е.  - матрица смежности.

 

 Матрица инциндентности:

 

x1

x2

x3

x4

v1

-1

0

1

1

v2

1

-1

0

-1

v3

0

1

-1

0

 

 Т.е.

 

 Если граф имеет кратные дуги (ребра), то в матрице смежности принимается aij=k, где k – кратность дуги (ребра).

 

 С помощью матриц смежности и инциндентности всегда можно полностью определеить граф и все его компоненты. Такой метод задания графов очень удобен для обработки данных на ЭВМ.

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 Так называются дифференциалы вида хm(a + bxn)p dx, где а, b – постоянные, отличные от нуля, m, n, p – рациональные числа.

 Первообразная для функции хm(a + bxn)p является элементарной функцией в следующих трех случаях: а) р – целое, б) - целое, в) - целое;

 а) если р – целое, то полагают x = z где N – общий знаменатель дробей m и n.

Мащиностроительное черчение