История искусства Энергетика Локальные компьютерные сети Начертательная геометрия и инженерная графика Курс физики Задачи примеры решения Математика лекции и примеры решения задач Электротехника расчет цепей Сопромат

Сопротивление материалов практикум по решению задач

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определяются по формуле (5.10), а касательные напряжения t-по формуле Д.И.Журавского (5.16). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны t. Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.

 Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через sa и ta, соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dF, для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dFsina и dFcosa, соответственно.

 Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис.5.21,г), получим:

,

откуда будем иметь:

;

.

 Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:

 Определим ориентацию площадки, т.е. значение a=a0, при котором напряжение sa принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции sa от a и приравняем ее нулю:

.

 Предполагая a=a0, получим:

.

 Откуда окончательно будем иметь:

.

 Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными, а сами напряжения-главными напряжениями.

 Сопоставляя выражения ta и , имеем:

,

откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.

 В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:

и формулы ,

определим главные напряжения, выражая из через s и t:

.

 Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.


На главную