История искусства Энергетика Локальные компьютерные сети Начертательная геометрия и инженерная графика Курс физики Задачи примеры решения Математика лекции и примеры решения задач Электротехника расчет цепей Информатика
Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление функции одной переменной Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Векторы на плоскости и в пространстве: определение, параллельный перенос, равенство векторов. Классы равных векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. Операции над векторами и их свойства. Координаты вектора. Декартова система координат в пространстве. Радиус-векторы: взаимнооднозначное соответствие между точками и направленными отрезками.

Лекция 8

Векторная алгебра

ТЕМА: Основные понятия

Обозначение: множество точек прямой - ,

плоскости - ,

пространства - .

Пусть точки , причем точки – упорядоченные: например, А – первая, В – вторая. Рассмотрим отрезок прямой, расположенный между этими точками.

Определение 8.1

Отрезок АВ называется направленным, или вектором если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.

Замечание 1.

А). Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым и обозначается .

Б). Длиной (модулем ) направленного отрезка  называется длина отрезка АВ.

Определение 8.2

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Замечание 2. Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору, так как не имеет направления и его длина равна нулю.

Определение 8.3

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и равны по длине.

Из определения 8.3 следует, что если задан вектор  и точка , то можно построить единственный вектор , равный . Другими словами, вектор  можно перенести в точку .

Определение 8.4

Пусть даны вектора : .

 Тогда вектор  называется суммой векторов  

Обозначение: .

Правила сложения

а) правило треугольника  б) правило параллелограмма

 


  

Определение 8. 5

Произведением вектора  на число   называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

векторы  и  сонаправлены, если  и

противоположно направлены, если ;

.

Обозначение:.

Замечание 3. Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор.

.

Это значит, что для любого вектора имеют место быть свойства, идентичные восьми аксиомам векторного пространства, причем свойства 1 - 5 очевидны.

Свойства 6 и 8 проверяются перебором различных вариантов. А свойство 7 следует из теоремы Фалеса:

Если направленные прямые отсекают одинаковые отрезки на одной стороне угла, то они отсекают одинаковые отрезки на другой его стороне.


Базис векторов

Теорема 8.1

1)Вектор  линейно зависим тогда и только тогда, когда он равен нулю.

2) Векторы  линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

3) Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

4) Любые четыре вектора линейно зависимы.

Следствия.

1). В нулевом пространстве базиса не существует.

2). В  базис состоит из одного ненулевого вектора.

3). В  базис образует упорядоченная пара неколлинеарных векторов

4). В  базис – упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Замечание 4. Требование упорядоченности означает, что, например в ,  и  - разные базисы.

Проекция вектора на ось

Определение 8.6

Осью  назовем прямую, по которой задано направление. Направление оси задается вектором  (направляющий вектор оси), который является масштабным вектором и обычно берется единичным.

Определение 8.7

Проекцией точки  на ось  называется точка , получаемая в пересечении   с плоскостью , перпендикулярной  и проходящей через точку .

 

Определение 8.8

Проекцией вектора  на ось  называется вектор , где точки  и  - проекции точек   и  соответственно.

= (8.1)

Замечание 5. Пусть =, тогда: , если ,

, если .

Свойства проекции

1) Проекция вектора  на ось  равна произведению длины вектора  на косинус угла между вектором и осью:

. (8.2)

Доказательство

 


- проекция вектора  на ось L, причем на рисунке (а) ,

на рисунке (б) .

Действительно, пусть .

Если  (см. рис. (а)), то , поэтому

.

Если  (см. рис. (б)), то , и

.

2) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

. (8.3)

Действительно, это очевидно из следующих рисунков:

 


3) Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции этого вектора на то же число.

. (8.4)

Доказательство

а) Пусть , тогда,

б) Пусть , тогда, .

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными. Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение ), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет бόльшую мощность.

Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество  было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу  множества  был поставлен в соответствие его порядковый номер . Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Построение решений систем линейных уравнений

Понятие векторного (линейного) пространства Упорядоченная система  чисел , называется -мерным вектором. Каждое число   называется -той координатой (или компонентой) вектора .

Однородная система линейных уравнений (СЛОУ)

Скалярное произведение векторов и его свойства Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Аналитическая геометрия на плоскости. Направленные отрезки на оси, линейные операции над ними. Декартовы координаты на прямой и плоскости. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между двумя точками, деление отрезка в заданном отношении.
Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных