История искусства Энергетика Локальные компьютерные сети Начертательная геометрия и инженерная графика Курс физики Задачи примеры решения Математика лекции и примеры решения задач Электротехника расчет цепей Информатика
Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление функции одной переменной Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Различные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой и его исследование. Построение прямой по его уравнению.

Аналитическая геометрия

ТЕМА: Прямая на плоскости

Определение 10.3.

Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение  (неявный вид), которому удовлетворяют координаты  любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Замечание 3.

Уравнение  называется алгебраическим, если

, где , причем  - порядок уравнения.

Примеры 10.2.

а)  - алгебраическое уравнение 1-го порядка.

б)  - алгебраическое уравнение 2-го порядка.

в)  - не является алгебраическим уравнением.

Самым простым уравнением 1-й степени является уравнение прямой на плоскости.

10 10 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Постановка задачи.

Дано: , .

Найти: уравнение прямой , проходящей через точку и . (см. рис.)

Назовем  - нормальный вектор.

А) Выберем на  произвольную точку . Найдем координаты . Т.к. , то  

(10.3)

- уравнение , отвечающее всем требованиям определения (10.3).

Б) Пусть , тогда , т.е.  и условие определения (1) не выполняются.

Следовательно, уравнение (10.3) – уравнение прямой по точке и нормальному вектору.

20 Общее уравнение прямой

Из уравнения (10.3) с помощью элементарных преобразований получим: ,

(10.4)

- общее уравнение прямой.

Частные случаи уравнения (10.4):

1) , 2) , 3)

4) , 5)

30 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть , , причем если

, то ;

, то ;

, то ;

 при .

Разрешим общее уравнение прямой (10.4) относительно :   . Пусть , тогда

(10.5)

,

где  - угловой коэффициент прямой,  - отрезок, который отсекает данная прямая на оси .

Замечание 4. Если , то  - прямая проходит через начало координат; если , то  - семейство прямых, параллельных оси .

40 Векторное, параметрическое и канонические уравнения прямой

Определение 10. 2

Всякий ненулевой вектор  параллельный прямой  называется направляющим вектором этой прямой. ().

Пусть точка , тогда произвольная точка  лишь при условии, когда вектор  коллинеарен . Это означает, что:

(10.6)

- векторное уравнение прямой.

С другой стороны, всякая точка , для которой выполняется уравнение (10.6) принадлежит  в силу определения произведения вектора на число. Таким образом, точка , тогда и только тогда, когда выполняется условие (10.6).

Если обозначить радиус-вектора точек ,  через  и , соответственно, то , тогда:

(10.6’)

.

Если , , , то (10.6) в координатах запишется:

(10.7)

- параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через точку   в направлении .

Исключая из уравнений (10.7) параметр , получаем:

(10.8)

- каноническое уравнение прямой.

Уравнение (10.8) необходимо воспринимать как пропорцию: если , то это прямая, параллельная оси , проходящая через точку .

Замечание 5.

Приведем уравнение (10.8) к общему знаменателю:

   - общее уравнение прямой.

В задачах  часто обозначают .

Если  - нормальный вектор, то  - направляющий вектор.

Вместе с каноническим уравнением (10.6) используется уравнение прямой, проходящей через две точки: если , , то .

Можно в качестве направляющего вектора принять , тогда:

(10.9)

- уравнение прямой, проходящей через две точки  и .

Если предположить, что три некомпланарных вектора  и  линейно зависимы, то один из них, например , линейно выражается через  и , т.е. , а это говорит о том, что три вектора  и  лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Три вектора  и  линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Пусть векторы  и  в некотором базисе имеют координаты ,  и  соответственно. Тогда векторы  и  линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы  и  линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа , неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:

.

Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов  такой, что:

 (4.4)

Если один из векторов, например, , является нулевым, то система  окажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при .

Теорема. Векторы  линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Уравнение прямой в отрезках

Преобразование прямоугольных координат на плоскости

Пример Уравнение окружности  привести к каноническому виду.

Уравнение эллипса , привести к каноническому виду.

Построение гиперболы При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами  и   и провести диагонали, которые и являются асимптотами (см. рис.). ,  - вершины гиперболы,  - действительная полуось,  - мнимая полуось,  - центр гиперболы.

Определение угла между двумя прямыми. Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых. Исследование взаимного расположения пар прямых, заданных общими уравнениями. Точка пересечения прямых. Расстояние от данной точки до данной прямой.
Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных