Действия с матрицами
Определение 2.1.
Две матрицы одинакового порядка называются равными, если равны все их соответствующие элементы.
Замечание 1. Две неравные квадратные матрицы одинакового размера могут иметь одинаковые определители.
;
.
Определение 2.2.
А) Суммой матриц одинакового размера
и
называется матрица
, полученная поэлементным сложением данных матриц.
Б) Произведением матрицы
на число
называется матрица
, полученная умножением всех элементов матрицы на число
.
Замечание 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями с матрицами.
Замечание 3. В отличие от матриц, в определителе не все его элементы, а элементы только одной строки (столбца) умножаются на число
.
Суммы матриц разного порядка не рассматриваются.
Примеры 2.1.
1)
,
;
.
2)
,
;
.
2.2. Свойства линейных операций с матрицами
Пусть А, В, С – матрицы одинакового размера,
- числа
![]()
- переместительное свойство сложения матриц (коммутативность);
![]()
- сочетательное свойство сложения матриц (ассоциативность);
![]()
- ассоциативность умножения матрицы на число;
![]()
- распределительное свойство умножения матрицы на число относительно суммы чисел (дистрибутивность);
![]()
- дистрибутивность умножения матрицы на число относительно суммы матриц.
Докажем свойства (3) и (5) (остальные доказываются по аналогии).
Доказательства.
. Пусть
и
, тогда
.
Здесь использовались: определение 2.2(б), свойство умножения матрицы на число.
. Пусть
и
. Тогда
Благодаря этим свойствам при выполнении многих операций с матрицами можно обращаться как с обычными числами.
Определение 2.3.
Произведением матрицы
на матрицу
называется матрица
с элементами:
,
,
(2.1),
(
- сумма произведений элементов
-ой строки первой матрицы на соответствующие по порядку элементы
-го столбца второй матрицы).
Замечание 4:
А) Согласно этому определению, умножать можно только такие две матрицы, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. Произведение
имеет столько строк, сколько первая матрица, и столько столбцов, сколько вторая.
В противном случае произведение не определено.
Б) Произведение матриц не является линейной операцией.
С) Операция умножения матриц некоммутативна.
Обозначение:
.
Примеры 2.2.
1) Пусть
![]()
.
2)Пусть
,
![]()
. Показать, что
.
Соединения. Бином Ньютона
Рассмотрим совокупность
различных элементов
. Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов:
(
;
)
называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.
Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.
Размещениями
из
элементов по
(
) называют их соединения, каждое из которых содержит ровно
различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.
Определим число размещений
из
элементов
по
.
Будем строить произвольное соединение
последовательно. Сначала определим его первый элемент
. Очевидно, что из данной совокупности
элементов его можно выбрать
различными способами. После выбора первого элемента
, для второго элемента
остается
способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для
элементов формула приобретает вид:
Соединения из
элементов, каждое из которых содержит все
элементов, и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками
.
Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все
элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.
Сочетаниями
из
элементов по
(
) называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно
данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.
Рассмотрим все допустимые сочетания элементов
.
Делая в каждом из них
возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из
элементов по
:
.
Числа
являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:
Свойства сочетаний:
Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения
, свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона, полагая для свойства 3 что
и
, а для свойства 4 что
и
. Свойство 5 можно проверить следующим образом:
Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты
с помощью так называемого треугольника Паскаля:
Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.
Элементы линейной алгебры Матрицы и определители. Основные понятия
Свойства определителей Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).
Ранг матрицы Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных
строк, и
столбцов матрицы, называется минором
-го порядка этой матрицы.
Аналитическая геометрия на плоскости. Направленные отрезки на оси, линейные операции над ними. Декартовы координаты на прямой и плоскости. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между двумя точками, деление отрезка в заданном отношении.
Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных