Действия с матрицами
Определение 2.1.
Две матрицы одинакового порядка называются равными, если равны все их соответствующие элементы.
Замечание 1. Две неравные квадратные матрицы одинакового размера могут иметь одинаковые определители.
; 
.
Определение 2.2.
А)
Суммой матриц одинакового размера 
и 
называется матрица 
, полученная поэлементным сложением
данных матриц.
Б) Произведением матрицы на число 
называется матрица 
, полученная умножением всех элементов матрицы
на число .
Замечание 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями с матрицами.
Замечание 3. В отличие
от матриц, в определителе не все его элементы, а элементы только одной строки
(столбца) умножаются на число .
Суммы матриц разного порядка не рассматриваются.
Примеры 2.1.
1) 
, 
;
.
2) 
, 
;
.
2.2. Свойства линейных операций с матрицами
Пусть
А, В, С – матрицы одинакового размера, 
- числа
- переместительное свойство сложения матриц (коммутативность);
- сочетательное свойство сложения матриц (ассоциативность);
- ассоциативность умножения матрицы на число;
- распределительное свойство умножения матрицы на число
относительно суммы чисел (дистрибутивность);
- дистрибутивность умножения матрицы на число относительно
суммы матриц.
Докажем свойства (3) и (5) (остальные доказываются по аналогии).
Доказательства.
. Пусть 
и 
, тогда
.
Здесь использовались: определение 2.2(б), свойство умножения матрицы на число.
. Пусть и . Тогда
Благодаря этим свойствам при выполнении многих операций с матрицами можно обращаться как с обычными числами.
Определение 2.3.
Произведением матрицы на матрицу 
называется матрица 
с элементами:
, 
, 
(2.1),
(
- сумма произведений элементов 
-ой строки первой матрицы на соответствующие
по порядку элементы 
-го столбца второй матрицы).
Замечание 4:
А)
Согласно этому определению, умножать можно только такие две матрицы, когда число
столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. Произведение имеет столько строк, сколько первая матрица, и столько
столбцов, сколько вторая.
В противном случае произведение не определено.
Б) Произведение матриц не является линейной операцией.
С) Операция умножения матриц некоммутативна.
Обозначение: 
.
Примеры 2.2.
1) Пусть 
.
2)Пусть 
, 
. Показать, что 
.
Соединения. Бином Ньютона
Рассмотрим
совокупность 
различных элементов
. Произвольная упорядоченная
выборка из этих элементов:
(
; 
)
называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.
Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.
Размещениями
из элементов по 
(
) называют их соединения, каждое из которых содержит ровно
различных элементов (выбранных
из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком
элементов.
Определим число размещений
из элементов по .
Будем строить произвольное соединение 
последовательно. Сначала определим его первый элемент 
. Очевидно, что из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора
первого элемента , для второго
элемента 
остается 
способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все
эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для элементов формула приобретает вид:
Соединения из элементов, каждое из которых содержит
все элементов, и которые отличаются
лишь порядком элементов, называются перестановками 
.
Перестановки являются частным
случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все элементов множества, то различные
перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.
Сочетаниями 
из элементов по () называют такие их соединения, каждое из которых содержит
ровно данных элементов, и которые
отличаются хотя бы одним элементом.
Рассмотрим все допустимые сочетания
элементов .
Делая в каждом из них 
возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из элементов по :
.
Числа 
являются коэффициентами в формуле
бинома Ньютона:
Свойства сочетаний:
Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения
, свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона,
полагая для свойства 3 что 
и 
, а для свойства 4 что и 
. Свойство 5 можно проверить следующим образом:
Это свойство позволяет последовательно
вычислять биномиальные коэффициенты с помощью так называемого треугольника Паскаля:
|
|
|
Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.
Элементы линейной алгебры Матрицы и определители. Основные понятия
Свойства определителей Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).
Ранг матрицы Определитель
с элементами, стоящими на пересечении произвольных 
строк, и столбцов матрицы, называется
минором -го порядка этой матрицы.