История искусства Энергетика Локальные компьютерные сети Начертательная геометрия и инженерная графика Курс физики Задачи примеры решения Математика лекции и примеры решения задач Электротехника расчет цепей Информатика
Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Дифференциальное исчисление функции одной переменной Частные производные и дифференциалы высших порядков

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Эквивалентность систем, элементарные преобразования, сохраняющие эквивалентность систем. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Основные шаги, прямой и обратный ход метода. Три варианта завершения прямого хода метода Гаусса: а) система совместная и определенная, б) система совместная и неопределенная; в) система несовместная.

Лекция 21

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

21.1. Производная функции

Пусть функция определена на множестве , .

Определение 21.1

Производной функции  в точке  называют ,

если он существует и конечен.

Замечание 1. Если , то говорят, что функция имеет бесконечную производную знака «+» или «–».

Обозначения: .

Пример 21.1.

Найти производную функции .

.

 

Пример 21.2.

Найти производную функции .

.

.

Определение 21.2.

 – правосторонняя производная;

 – левосторонняяпроизводная.

Теорема 21.1.

Функция  имеет производную в точке , тогда и только тогда, когда существуют левые и правые производные и они равны.

Замечание 2. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

21.2. Дифференциал функции

Определение 21.3.

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение  в этой точке можно представить в виде:

, (21.1)

 где ,  – бесконечно малая функция.

Замечание 3. В формуле (21.1)  (читают: А от ) – главная линейная относительно  часть приращения называется дифференциалом функции   в точке  и обозначается  или :

 (21.2)

Таким образом, . Если обозначить , то

. (21.3)

Теорема 21.2.

Для того чтобы функция  была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема 21.3.

Если функция  дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание 4. Обратное утверждение неверно!

Обозначение: .

Итак,  или

. (21.4)

21.3. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция  определена на интервале , причем точки ,  принадлежат графику функции, тогда, МР – секущая.

.

Если существует предел, то прямую с угловым коэффициентом  называют предельным положением секущей MP при  (или касательной) (MS). (То есть ).

Из   .

Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  в точке .

 – уравнение касательной.

Физический смысл производной.

Пусть  – закон движения точки; тогда за время   будет пройден путь . За время : .

Если , , то  – средняя скорость за время .

Таким образом,  – мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрический смысл дифференциала.

, .

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.

Коллинеарные векторы

Два ненулевых -мерных вектора  и  называются коллинеарными, если угол между ними равен  или .

Если , то коллинеарные векторы называются сонаправленными или одинаково направленными .

Если , то коллинеарные векторы называются противоположно направленными .

Если условие коллинеарности между векторами  и  не выполняется (т.е. ), то такие вектора называются неколлинеарными.

Теорема. Ненулевые векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такое ненулевое число , что .

Доказательство:

Необходимость:

.

. Для этого случая аналогично доказывается, что , при .

Достаточность:

Число  имеет только два значения: . Это означает, что  или , соответственно. Таким образом, вектора  и  коллинеарны.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Непрерывность функций в точке Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку, называется непрерывной в этой точке, если

Обратная функция Пусть X и Y - некоторые множества и задана функция f(x), т.е. множество пар чисел (x, y): , причем.

Физический смысл дифференциала. Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то  равен расстоянию, которое прошла бы точка за , если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент . Использование дифференциала для приближенных вычислений

Производная сложной функции

Матрицы, операции над ними и их свойства: сложение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц. Произведение матриц: умножение матрицы строки на матрицу-столбец; умножение матрицы на столбец; умножение строки на матрицу; умножение матриц. Условия существования произведения матриц. Свойства операции умножения матриц.
Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных