История искусства Энергетика Локальные компьютерные сети Начертательная геометрия и инженерная графика Курс физики Задачи примеры решения Математика лекции и примеры решения задач Электротехника расчет цепей Информатика
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных. Замена переменных в двойных интегралах Вычисление интегралов Погрешность численного интегрирования

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

МАТРИЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Модель Леонтьева - модель многоотраслевой экономики. Схема межотраслевого баланса. Матрица прямых затрат. Основная задача межотраслевого баланса. Продуктивность модели Леонтьева.

Интеграл Фурье

Пусть функция (сигнал)  описывает некоторый периодический процесс. С целью исследования этого процесса часто представляют функцию  в виде суммы постоянного члена и гармонических составляющих с частотами  :

 . (17)

Совокупность коэффициентов Фурье периодической функции называется ее спектром. Спектр периодической функции дискретный. С точки зрения физики разложение в ряд Фурье можно трактовать как представление периодического сигнала в виде суммы гармонических колебаний.

Если на числовой оси  задан непериодический сигнал , то для исследования такого процесса представим   на промежутке   в виде ряда (17). За пределами рассматриваемого промежутка сумма тригонометрического ряда будет повторять значения функции  в промежутке . После этого естественно сделать предельный переход при . Оказывается, что в результате такого предельного перехода произойдет качественный скачок. Непериодическая функция, заданная на всей оси, представится в виде интеграла, который является непрерывным аналогом ряда Фурье и представляет собой “сумму гармонических составляющих”, частоты которых заполняют всю действительную полуось . А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема. (О представимости функции интегралом Фурье).

Если функция  абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е.   и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном промежутке этой оси, то при всех  имеет место равенство

 . (18)

Если   - точка разрыва первого рода функции , то левую часть формулы (18) следует понимать как , что мы всегда будем иметь в виду.

Формула (18) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – двойным интегралом Фурье.

Обозначая

   и , (19)

запишем интегральную формулу Фурье (18) в виде

 . (20)

Интегральная формула Фурье (20) аналогична разложению периодической функции в ряд Фурье. Подынтегральная функция формулы (20) напоминает общий член ряда Фурье, только здесь частота , непрерывно изменяясь, пробегает все значения от 0 до , и потому суммирование заменяется интегрированием от 0 до . Функции , определенные формулами (19), аналогичными формулам для коэффициентов ряда Фурье, дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты .

Смысл интегральной формулы Фурье состоит в следующем: интегральная формула Фурье представляет непериодическую функцию как наложение гармоник с непрерывной последовательностью частот.

С физической точки зрения это означает, что непериодический процесс уже нельзя построить из гармонических колебаний только с определенными изолированными частотами , теперь для его построения необходимы гармонические колебания всех частот.

Рассмотрим частные случаи применения формулы (20).

Пусть - четная функция. Тогда .

Формула (20) в этом случае принимает вид

 . (21)

Запишем эту формулу в симметричном виде, положив ,

где .

  называется косинус-преобразованием Фурье функции .

Пусть - нечетная функция. В этом случае ,

 ,

тогда

 . (22)

 

Введем синус-преобразование Фурье, положив , тогда формула (22) принимает вид .

Пусть   определена только в интервале . Тогда ее можно представить при  как формулой (21), так и формулой (22). Для этого следует функцию  продолжить на промежуток   так, чтобы она стала или четной или нечетной на всей действительной оси.

 Теперь рассмотрим примеры представления непериодических функций интегралом Фурье.

 
Представить интегралом Фурье функцию

  

 1

 1/2

 

 

 -1 0 3 t

 Рис. 12

 График функции представлен на рис. 12.

  Решение. Данная функция на любом конечном промежутке числовой оси   удовлетворяет условиям Дирихле. Очевидно, что  является абсолютно интегрируемой функцией на всей числовой оси, так как

.

Следовательно, данная функция может быть представлена интегралом Фурье; по формуле (17) имеем

 

 

  

 

В точках разрыва , т.е. при  и , полученное представление сохраняется, т. к. в этих точках .

В частности, при  имеем , отсюда легко находим значение интеграла: .

Таким образом, в результате решения основной задачи – представления заданной функции интегралом Фурье – мы смогли вычислить интеграл от функции, первообразная которой через элементарные функции не выражается. И еще одна характерная особенность. Как видно из данного примера, интеграл Фурье может представлять функцию, которая на разных промежутках числовой оси задается разными аналитическими выражениями.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов  симметрической матрицы , , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение  – ее каноническим видом в базисе .


Доказательство:

, если , так как  – ортогональная система векторов   – канонический базис квадратичной формы .

, так как векторы системы  нормированы, то , .

Канонический базис Якоби квадратичной формы

Будем говорить, что матрица   удовлетворяет условию Якоби, если определители:

,

называемые угловыми минорами матрицы , не равны нулю. Очевидно, что , .

Обозначим через  матрицу:

.

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д.

Из условия ,  следует, что  и, значит, каждая система уравнений , , где  – –й вектор диагональной системы, имеет единственное решение , . Система векторов  называется системой векторов Якоби матрицы , которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. Если матрица   квадратичной формы  удовлетворяет условию Якоби, то система векторов Якоби  матрицы  является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

– ее каноническим видом в базисе .

Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале  формулой:  

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой  

Ряды Фурье в комплексной форме Пусть  – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье.

ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Свойства множеств решений однородных и неоднородных систем. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Решение задачи Коши методом Эйлера