Интегрирование функций нескольких переменных.
Двойной интеграл и его свойства.
Метод интегральной суммы.
Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.
Опр. Аддитивной величиной наз. параметр физической
системы Р, который можно представить как сумму значений этого параметра от всех
составных частей системы P = 
pi . Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного
пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно.
Алгоритм метода интегральной суммы.
Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков .
Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi .
3. Проводится
суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n)
= 
pi
4. Переход к пределу
lim P(n) = P при n
дает точное решение задачи, т.е. определяет
значение искомого, аддитивного параметра для всей системы
Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система .
Опр. Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.
Задача о вычислении объема цилиндрического бруса.
Имеем
на плоскости хОу область D , ограниченную контуром 
D
и функцию z = f(x,y) 
0 , которая определяет некоторую поверхность
над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью
z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры
восстановленные из всех точек контура D . Вычислим объем такого бруса методом интегральной
суммы.
Операция разбиения. Разделим область D сеткой кривых на n частей
D1, D2, . . . , Dn, имеющих площади si . В каждой фигуре Di выделим некоторую точку (
) и на на высоте f() проведем над Di плоскость параллельную хОу. В результате получим дополнительную,
ступенчатую фигуру.
2. Объем элементарного цилиндра над Di равен f()si .
3. Объем всей ступенчатой фигуры определяет интегральная сумма
V(n) =
f()si ( 1 )
С ростом n точность приближения возрастает
и в пределе n, при стремлении наибольшего из диаметров
Di к 0 , получаем точное значение
объема цилиндрического бруса
V = lim
f()si = 
f(x,y) dx dy ( 2 )
n
Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков.
Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.
Теорема о делении с остатком
Для
любых многочленов 
существуют
многочлены 
и 
, такие, что 
причем степень меньше степени 
или 
. Многочлены и определены однозначно.
Многочлены и называются соответственно частным и остатком. Если
делит 
то остаток 
.
Число 
называется корнем многочлена 
, если 
.
Теорема Безу
Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на 
Пусть ‑ корень многочлена , т.е. 
Разделим на 
, где степень меньше степени 
, которая равна 
Значит, степень равна 
, т.е. 
. Значит, 
, 
. Так как 
, то из последнего равенства следует, что 
т.е. 
.
Обратно, пусть делит , т.е. . Тогда 
.
Следствие. Остаток от деления многочлена
на равен 
.
Многочлены первой степени называются линейными
многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим
коэффициентом 1.
Многочлен можно разделить на линейный многочлен
с помощью алгоритма деления
с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием
схемы Горнера.
Пусть 
и пусть , где 
. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной
с левой и правой частях последнего равенства, имеем:
|
|
, откуда |
|
(11.1) |
Число называется корнем кратности 
многочлена , если 
делит , но 
уже не делит .
Чтобы поверить, будет ли число 
корнем многочлена и какой кратности,
можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на 
затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится
на и т.д. до получения не нулевого
остатка.
Число различных корней многочлена не превосходит его степени.
Большое значение имеет следующая основная теорема.
Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию
Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции
Преобразование
Фурье Интегральную формулу Фурье можно записать в виде 
. Это есть комплексная форма интеграла Фурье.
Основные свойства двойного интеграла.
Постоянный множитель выносится за знак интеграла а
f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy т.к.
общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.