Интегрирование функций нескольких переменных.
Двойной интеграл и его свойства.
Метод интегральной суммы.
Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.
Опр. Аддитивной величиной наз. параметр физической системы Р, который можно представить как сумму значений этого параметра от всех составных частей системы P =
pi . Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно.
Алгоритм метода интегральной суммы.
Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков .
Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi .
3. Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) =
pi
4. Переход к пределу lim P(n) = P при n
дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы
Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система .
Опр. Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.
Задача о вычислении объема цилиндрического бруса.
Имеем на плоскости хОу область D , ограниченную контуром
D и функцию z = f(x,y)
0 , которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры восстановленные из всех точек контура
D . Вычислим объем такого бруса методом интегральной суммы.
Операция разбиения. Разделим область D сеткой кривых на n частей
D1,
D2, . . . ,
Dn, имеющих площади
si . В каждой фигуре
Di выделим некоторую точку (
) и на на высоте f(
) проведем над
Di плоскость параллельную хОу. В результате получим дополнительную, ступенчатую фигуру.
2. Объем элементарного цилиндра над
Di равен f(
)
si .
3. Объем всей ступенчатой фигуры определяет интегральная сумма
V(n) =
f(
)
si ( 1 )
С ростом n точность приближения возрастает и в пределе n
, при стремлении наибольшего из диаметров
Di к 0 , получаем точное значение объема цилиндрического бруса
V = lim
f(
)
si =
f(x,y) dx dy ( 2 )
n
Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков.
Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.
Теорема о делении с остатком
Для любых многочленов
существуют многочлены
и
, такие, что
причем степень
меньше степени
или
. Многочлены
и
определены однозначно.
Многочлены
и
называются соответственно частным и остатком. Если
делит
то остаток
.
Число
называется корнем многочлена
, если
.
Теорема Безу
Число
является корнем многочлена
тогда и только тогда, когда
делится на
Пусть
‑ корень многочлена
, т.е.
Разделим
на
![]()
, где степень
меньше степени
, которая равна
Значит, степень
равна
, т.е.
. Значит,
,
. Так как
, то из последнего равенства следует, что
т.е.
.
Обратно, пусть
делит
, т.е.
. Тогда
.
Следствие. Остаток от деления многочлена
на
равен
.
Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена
равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.
Многочлен
можно разделить на линейный многочлен
с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.
Пусть
и пусть
, где
. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:
, откуда
(11.1)
Число
называется корнем кратности
многочлена
, если
делит
, но
уже не делит
.
Чтобы поверить, будет ли число
корнем многочлена
и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала
делится на
затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на
и т.д. до получения не нулевого остатка.
Число различных корней многочлена не превосходит его степени.
Большое значение имеет следующая основная теорема.
Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию
Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции
Преобразование Фурье Интегральную формулу Фурье можно записать в виде
. Это есть комплексная форма интеграла Фурье.
Основные свойства двойного интеграла. Постоянный множитель выносится за знак интеграла
а f(x,y) dx dy = а
f(x,y) dx dy т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.
ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Свойства множеств решений однородных и неоднородных систем. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Решение задачи Коши методом Эйлера