История искусства Энергетика Локальные компьютерные сети Начертательная геометрия и инженерная графика Курс физики Задачи примеры решения Математика лекции и примеры решения задач Электротехника расчет цепей Информатика
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных. Замена переменных в двойных интегралах Вычисление интегралов Погрешность численного интегрирования

Погрешность численного интегрирования

Для нахождения зависимостей погрешности вычисления определенного интеграла на отрезке [a,b] от числа отрезков разбиения интервала интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тeйлора:

 (6.22)

Тогда интеграл от данной функции на отрезке [xi ,xi+1] будет равен:

 (6.23)

Оценим погрешность метода левых прямоугольников. Погрешность интегрирования Δi, на отрезке   равняется разности между точным значением интеграла и его оценкой :

 (6.24)

Из (6.24) видно, что основной член погрешности на каждом отрезке имеет порядок (Δx2) или в символической записи O((Δx)2). Поскольку полное число отрезков равно N, a

Δx = (b - a)/N, то полная погрешность метода левых прямоугольников по порядку величины равна  Аналогично можно показать, что погрешность метода правых прямоугольников также пропорциональна N-1.

Погрешность формулы трапеций оценивается аналогичным образом. Так как значение интеграла на отрезке  вычисляется по формуле  , то погрешность равна:

 (6.25)

Заменив в (6.25) первый член выражением (6.23), значение функции в точке  будет разложением в ряд Тэйлора:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, обнаруживаем, что член, пропорциональный первой производной функции, сокращается, и погрешность на одном отрезке равна . Следовательно, полная погрешность формулы трапеций на отрезке [a,b] по порядку величины равна . Так как формула Симпсона основывается на приближении функции f(x) параболой, можно ожидать, что в данном случае погрешность по величины будет определяться членами, пропорциональными третьей производной функции. Однако последовательное повторение действий, выполненных при оценке погрешности метода трапеций, показывает, что эти члены сокращаются в силу их симметричности, поэтому в разложении в ряд Тейлора следует удержать член, пропорциональный   . Следовательно, погрешность формулы Симпсона на отрезке  пропорциональна , а полная погрешность на отрезке [a,b ] по порядку величины составляют O(N-4).

Полезно получить оценку погрешности вычисления интеграла от функции, зависящей от двух переменных, который с геометрической точки зрения представляет собой объем фигуры под поверхностью, заданной функцией f(x,y). B прямоугольном приближении данный интеграл равен сумме объемов параллелепипедов с площадью основания ΔxΔy и высотой, равной значению функции f(x,y) в одном из углов. Для определения погрешности разложим функцию f(x,y) вряд Тейлора:

 (6.26)

где  - частные производные по соответствующим переменным. Погрешность вычисления интеграла Δi, равна

 (6.27)

Подставив (6.26) в (6.27), выполнив интегрирование и приведя подобные члены, получаем, что член, пропорциональный , сокращается, а интеграл от  дает . Интеграл от данного выражения по  дает еще один множитель Δy. Аналогичный вклад дает интеграл от члена, пропорционального (y - yi). Так как порядок погрешности Δу также составляет O(Δx), то погрешность интегрирования по прямоугольнику  равна

 (6.28)

Из (6.28) видно, что погрешность интегрирования по одному параллелепипеду составляет  Так как имеется N параллелепипедов, полная погрешность по порядку величины равна . Однако в двумерном случае ~, поэтому полная погрешность . Напомним, что в одномерном случае полная погрешность метода прямоугольников . Аналогичные оценки для двумерных обобщений формул трапеций и Симпсона показывают, что они соответственно равны . Вообще можно показать, что если для одномерного случая погрешность составляет , то в d-мерном случае она равна .

Вычисление интегралов методом Монте-Карло

Проиллюстрируем идеи метода Монте-Карло на примере вычисления определенного интеграла от функции, зависящей от одной переменной. Пусть нам необходимо вычислить интервал (6.11) от некоторой заданной функции f(x) на интервале [a,b]. B предыдущем разделе мы рассмотрели несколько различных формул интегрирования, в которых использовались значения функции f(x), вычисляемые в равноотстоящих точках. Однако можно использовать и другой подход, суть которого легко понять из следующего примера.

Рис. 6.7. K объяснению метода Монте-Карло

Представим себе прямоугольник высотой H и длиной (b - а), такой, что функция f(x) целиком лежит внутри данного прямоугольника (рис. 6.7). Сгенерируем N пар случайных чисел, равномерно распределенных в данном прямоугольнике:

 (6.29)

Тогда доля точек , удовлетворяющих условию , является оценкой отношения интеграла от функции f(x) к площади рассматриваемого прямоугольника. Следовательно, оценка интеграла в данном методе может быть получена по формуле:

 (6.30)

где ns - число точек, удовлетворяющих условию ; N — полное количество точек, A — площадь прямоугольника.

Можно  предложить и другой путь вычисления определенного интеграла, рассматривая его как среднее значение функции f(x) на отрезке [a,b]:

 (6.31)

 е  — последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения на отрезке [a,b].

Отметим, что в отличие от ранее упомянутых методов погрешность метода Монте-Карло не зависит от размерности и меняется как . Следовательно, для достаточно больших d интегрирование по методу Монте-Карло будет приводить к меньшим погрешностям при тех же значениях N.

Решение нелинейных систем методами спуска Общий недостаток всех рассмотренных ранее методов решения систем нелинейных уравнений состоит в локальном характере сходимости, затрудняющем их применение в случаях (достаточно типичных), когда существуют проблемы с выбором начального приближения, обеспечивающего сходимость итерационной вычислительной процедуры.

Интерполирование функций

Сплайн-интерполяция При большом количестве узлов интерполяции приходится использовать интерполяционные полиномы высокой степени, что создает опредёленные неудобства при вычислениях. Можно избежать выcокой степени интерполяционного многочлена, разбив отрезок интерполяции на несколько частей и построив на каждой части самостоятельный интерполяционный многочлен

Методы обработки экспериментальных данных Метод наименьших квадратов

Разложение периодических функций в ряд Фурье

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Координаты фокусов эллипса и его эксцентриситет. Общий вид уравнения эллипса. Различные виды уравнения эллипса и соответствующие им расположения эллипса на плоскости.
Решение задачи Коши методом Эйлера