Погрешность численного интегрирования
Для нахождения зависимостей погрешности вычисления определенного интеграла на отрезке [a,b] от числа отрезков разбиения интервала интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тeйлора:
(6.22)
Тогда интеграл от данной функции на отрезке [xi ,xi+1] будет равен:
(6.23)
Оценим погрешность метода левых
прямоугольников. Погрешность интегрирования Δi, на отрезке 
равняется разности между точным значением интеграла и его оценкой 
:
(6.24)
Из (6.24) видно, что основной член погрешности на каждом отрезке имеет порядок (Δx2) или в символической записи O((Δx)2). Поскольку полное число отрезков равно N, a
Δx
= (b - a)/N, то полная погрешность метода левых прямоугольников по порядку величины
равна 
Аналогично можно показать, что
погрешность метода правых прямоугольников также пропорциональна N-1.
Погрешность
формулы трапеций оценивается аналогичным образом. Так как значение интеграла на
отрезке вычисляется по формуле
, то погрешность равна:
(6.25)
Заменив в (6.25) первый член
выражением (6.23), значение функции в точке 
будет разложением в ряд Тэйлора:
Раскрыв скобки и приведя подобные
члены, обнаруживаем, что член, пропорциональный первой производной функции, сокращается,
и погрешность на одном отрезке равна 
. Следовательно, полная погрешность формулы
трапеций на отрезке [a,b] по порядку величины равна 
. Так как формула Симпсона основывается на
приближении функции f(x) параболой, можно ожидать, что в данном случае погрешность
по величины будет определяться членами, пропорциональными третьей производной
функции. Однако последовательное повторение действий, выполненных при оценке погрешности
метода трапеций, показывает, что эти члены сокращаются в силу их симметричности,
поэтому в разложении в ряд Тейлора следует удержать член, пропорциональный 
. Следовательно, погрешность формулы Симпсона на отрезке пропорциональна 
, а полная погрешность на отрезке [a,b ] по порядку
величины составляют O(N-4).
Полезно получить оценку погрешности вычисления интеграла от функции, зависящей от двух переменных, который с геометрической точки зрения представляет собой объем фигуры под поверхностью, заданной функцией f(x,y). B прямоугольном приближении данный интеграл равен сумме объемов параллелепипедов с площадью основания ΔxΔy и высотой, равной значению функции f(x,y) в одном из углов. Для определения погрешности разложим функцию f(x,y) вряд Тейлора:
(6.26)
где 
- частные производные по соответствующим
переменным. Погрешность вычисления интеграла Δi, равна
(6.27)
Подставив (6.26) в (6.27),
выполнив интегрирование и приведя подобные члены, получаем, что член, пропорциональный
, сокращается, а интеграл от
дает 
. Интеграл от данного выражения по
дает еще один множитель Δy.
Аналогичный вклад дает интеграл от члена, пропорционального (y - yi). Так как
порядок погрешности Δу также составляет O(Δx), то погрешность интегрирования
по прямоугольнику 
равна
(6.28)
Из (6.28) видно, что погрешность
интегрирования по одному параллелепипеду составляет 
Так как имеется N параллелепипедов,
полная погрешность по порядку величины равна 
. Однако в двумерном случае 
~
, поэтому полная погрешность 
. Напомним, что в одномерном случае полная
погрешность метода прямоугольников 
. Аналогичные оценки для двумерных обобщений формул
трапеций и Симпсона показывают, что они соответственно равны 
. Вообще можно показать, что если для одномерного
случая погрешность составляет 
, то в d-мерном случае она равна 
.
Вычисление интегралов методом Монте-Карло
Проиллюстрируем идеи метода Монте-Карло на примере вычисления определенного интеграла от функции, зависящей от одной переменной. Пусть нам необходимо вычислить интервал (6.11) от некоторой заданной функции f(x) на интервале [a,b]. B предыдущем разделе мы рассмотрели несколько различных формул интегрирования, в которых использовались значения функции f(x), вычисляемые в равноотстоящих точках. Однако можно использовать и другой подход, суть которого легко понять из следующего примера.
Рис. 6.7. K объяснению метода Монте-Карло
Представим себе прямоугольник высотой H и длиной (b - а), такой, что функция f(x) целиком лежит внутри данного прямоугольника (рис. 6.7). Сгенерируем N пар случайных чисел, равномерно распределенных в данном прямоугольнике:
(6.29)
Тогда доля точек 
,
удовлетворяющих условию 
, является оценкой отношения интеграла
от функции f(x) к площади рассматриваемого прямоугольника. Следовательно, оценка
интеграла в данном методе может быть получена по формуле:
(6.30)
где ns - число точек, удовлетворяющих
условию ; N — полное количество точек, A — площадь прямоугольника.
Можно предложить и другой путь вычисления определенного интеграла, рассматривая его как среднее значение функции f(x) на отрезке [a,b]:
(6.31)
— последовательность случайных чисел с равномерным
законом распределения на отрезке [a,b].Отметим, что в отличие от ранее упомянутых
методов погрешность метода Монте-Карло не зависит от размерности и меняется как
. Следовательно, для достаточно больших d интегрирование
по методу Монте-Карло будет приводить к меньшим погрешностям при тех же значениях
N.
Решение нелинейных систем методами спуска Общий недостаток всех рассмотренных ранее методов решения систем нелинейных уравнений состоит в локальном характере сходимости, затрудняющем их применение в случаях (достаточно типичных), когда существуют проблемы с выбором начального приближения, обеспечивающего сходимость итерационной вычислительной процедуры.
Сплайн-интерполяция При большом количестве узлов интерполяции приходится использовать интерполяционные полиномы высокой степени, что создает опредёленные неудобства при вычислениях. Можно избежать выcокой степени интерполяционного многочлена, разбив отрезок интерполяции на несколько частей и построив на каждой части самостоятельный интерполяционный многочлен
Методы обработки экспериментальных данных Метод наименьших квадратов
Разложение периодических функций в ряд Фурье