История искусства Энергетика Локальные компьютерные сети Начертательная геометрия и инженерная графика Курс физики Задачи примеры решения Математика лекции и примеры решения задач Электротехника расчет цепей Информатика
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных. Замена переменных в двойных интегралах Вычисление интегралов Погрешность численного интегрирования

Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности

Рассмотрим особенности спектрального представления дискретной функции, заданной на временном интервале конечной длительности [0, Т] N отсчетами  взятыми соответственно в моменты времени . Полное число отсчетов

Можно показать, что для дискретной последовательности коэффициенты ряда Фурье определяются таким образом:

  (8.21)

Формула (8.21) устанавливает последовательность коэффициентов, образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое имеет следующие свойства:

ДПФ есть линейное преобразование;

число коэффициентов  вычисляемых в соответствии с (8.21), равно числу отсчетов дискретной последовательности;

коэффициент  (постоянная составляющая) есть среднее значение дискретной последовательности;

если N - четное число, то

 

для вещественной дискретной последовательности коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно N/2, образуют сопряженные пары:

 ,

поэтому можно считать, что коэффициенты  отвечают отрицательным частотам;

если для дискретной последовательности  найдены коэффициенты ДПФ  то восстановление исходной дискретной последовательности может быть осуществлено по формуле

  (8.22)

Быстрое преобразование Фурье

Из формул (8.21) и (8.22) видно, что для вычисления ДПФ или обратного ДПФ последовательности из N элементов требуется выполнить N2 операций с комплексными числами. Если число элементов обрабатываемых массивов составляет порядка тысячи и более, то время, необходимое на выполнение этих преобразований, резко возрастает и теряется возможность обработки сигналов в реальном масштабе времени.

B 60-е годы Кули и Тьюки был предложен метод вычисления коэффициентов Фурье, позволивший снизить объем вычислений до   операций. Он получил название алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

B настоящее время процедуры, реализующие алгоритм БПФ входят во все математические библиотеки, используемые при написании программ на языках программирования высокого уровня и специализированные пакеты для математических вычислений. B связи с тем, что подробное рассмотрение алгоритма выходит за рамки нашей книги, мы рассмотрим только ocновую идею БПФ для случая, когда число отсчетов  , где p — целое число.

Разобьем входную последовательность {sk} на две части с четными и нечетными номерами:

   (8.23)

где

Это позволяет представить n-й коэффициент ДПФ в виде

 (8.24)

Из (8.24) видно, что первая половина коэффициентов ДПФ исходного сигнала с номерами от 0 до N/2-1 выражается через коэффициенты ДПФ двух частных последовательностей:

  (8.25)

где

Так как последовательности коэффициентов массивов  являются периодическими с периодом  , то

 

Подставляя (8.26) в (S.25) и учитывая, что

  (8.27)

получаем выражение для второй половины множества коэффициентов ДПФ:

  (8.28)

где

Формулы (8.26), (8.28) лежат в основе алгоритма БПФ: последовательности отсчетов с четными и нечетными номерами вновь разбиваются на две части. Процесс продолжается до тех пор, пока не получится последовательность, состоящая из одного элемента. ДПФ данной последовательности совпадет с сами элементом. Затем последовательно находятся коэффициенты ДПФ предыдущих последовательностей.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Координаты фокусов эллипса и его эксцентриситет. Общий вид уравнения эллипса. Различные виды уравнения эллипса и соответствующие им расположения эллипса на плоскости.
Решение задачи Коши методом Эйлера