История искусства Энергетика Локальные компьютерные сети Начертательная геометрия и инженерная графика Курс физики Задачи примеры решения Математика лекции и примеры решения задач Электротехника расчет цепей Информатика
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных. Замена переменных в двойных интегралах Вычисление интегралов Погрешность численного интегрирования

Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных

Общие сведения и классификация уравнений в частных производных

Определение 10.1. Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных.

B отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная функция зависит только от одной переменной, в уравнениях с частными производными неизвестная функция зависит от нескольких переменных (например, температура зависит от координаты x и времени t).

Для упрощения записи будем использовать следующие обозначения:

.

  (одномерное уравнение теплопроводности);

   (двумерное уравнение теплопроводности);

   (уравнение Лапласа в полярных координатах);

   (трехмерное волновое уравнение);

(телеграфное уравнение).

Отметим, что в приведенных ранее примерах неизвестная функция u зависит более чем от одной переменной. Функция u, от которой находятся производные, называется зависимой переменной, переменные t, х, по которым производится дифференцирование, называются независимыми переменными.

Методы решения уравнений в частных производных:

метод разделения переменных

метод интегральных преобразований

метод преобразования координат

метод преобразования зависимой переменной

численные методы

метод теории возмущений

метод функций Грина

метод интегральных уравнений

вариационные методы

метод разложения по собственным функциям

метод обратной задачи рассеяния

Важность классификации УПЧ обусловлена тем что, для каждого класса существует своя общая теория и методы решения уравнений. Уравнения в частных производных (УЧП) можно классифицировать по многим признакам.

Методы классификации УЧП:

1. По порядку уравнения (порядком уравнения называют наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение):

 (уравнение первого порядка);

 (уравнение второго порядка);

 (уравнение третьего порядка).

2. По числу переменных (числом переменных называют число независимых переменных).

 (уравнение с двумя переменными)

 (уравнение с тремя переменными )

3. По критерию линейное/нелинейное.

Линейным уравнением второго порядка с двумя независимыми переменными называется уравнение вида

  (10.1)

где A, B, C, D, E, F и G константы или заданные функции переменных x и у.

 (линейные уравнения);

 (нелинейные уравнения).

4. По критерию однородное/неоднородное.

Уравнение (10.1) называется однородным, если правая часть G(x,y) тождественно равна нулю для всех x и у. Если G(x,y) не равна нулю тождественно, то уравнение называется неоднородным.

5. По виду коэффициентов.

Если коэффициенты A, B, C, D, E, F и G уравнения (10.1) - константы, то уравнение (10.1) называется уравнением с постоянными коэффициентами, в противном случае уравнением с переменными коэффициентами.

Существует несколько типов линейных уравнений.

Параболический тип. Уравнения параболического типа описывают процессы теплопроводности и диффузии и определяются условием

 

Гиперболический тип. Уравнения гиперболического типа описывают колебательные системы и волновые движения и определяются условием

 >0

Эллиптический тип. Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся процессы и определяются условием

  <0

Примеры линейных уравнений разных типов:

 (параболическое);

 (гиперболическое);

 (гиперболическое);

 (эллиптическое);

 (эллиптическое при у > 0, параболическое при y = 0, гиперболическое при у < 0).

 10.2. Численные методы решения эллиптических уравнений

При решении эллиптических УЧП ставится задача отыскания решения в некоторой области пространства при заданных значениях функции на границе области (задача Дирихле). Иллюстрацией задачи Дирихле является задача нахождения решения уравнения Лапласа

 

с заданными граничными условиями (ГУ)

 

Рассмотрение численных методов решения задачи Дирихле уравнения Лапласа в прямоугольной области   с граничными условиями

 

начнем со знакомства с понятием конечно-разностная частная производная.

Напомним, что при численном интегрировании производную функции, определяемую в соответствие с выражением

 

мы заменяли выражением

   (10.2)

с точностью до членов порядка h аппроксимирующей производную в точке x.

Выражение, стоящее в правой части (10.2), называется правой разностной производной.

B разложении Тейлора функции f(x) можно заменить h на -h и получить левую разностную производную:

   (10.3)

Складывая (10.2) и (10.3), получаем центральную разностную производную:

  (10.4)

Поступая аналогично, можно получить центральную разностную производную - аппроксимацию второй производной:

   (10.5)

Теперь можно распространить понятие конечно-разностной аппроксимации на частные производные. Используя разложение функции двух переменных в ряд Тэйлора

 

находим выражения для конечно-разностной аппроксимации частных производных:

 

B данных формулах частные производные аппроксимируются правыми, центральными и левыми разностями, но мы далее будем использовать центральные разностные аппроксимации.

Будем использовать следующие обозначения:

 

Заменим частные производные в уравнении Лапласа их конечно-разностной аппроксимацией:

  (10.6)

Если k = h , то уравнение Лапласа приводится к виду

  (10.7)

разрешив (10.7) относительно , получим

Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Лабораторная работа

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

Приближённое вычисление интеграла методом Симпсона

Приближённое вычисление интеграла по квадратурной формуле Гаусса.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Координаты фокусов эллипса и его эксцентриситет. Общий вид уравнения эллипса. Различные виды уравнения эллипса и соответствующие им расположения эллипса на плоскости.
Решение задачи Коши методом Эйлера