Тройной интеграл Объём цилиндрического тела

Поверхностные интегралы 2 рода. Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где  - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего потока  - острый угол и cos>0 , для входящего потока   - тупой угол и cos<0 . Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность.

Функции нескольких переменных

ПРИМЕР 1. Выразить объем  цилиндра, радиус которого , высота , через эти переменные. Указать область определения функции. Ответ. , область определения – часть плоскости :

ПРИМЕР 2. Найти и построить область определения функции .

Ответ. Область определения:  и  (рис. 1).

Подпись:  Рис. 2ПРИМЕР 3. Построить схематично график функции  на множестве :

Ответ. Часть плоскости , располо­женная над прямоугольни-
ком   (рис. 2).

 

Для характеристики множеств , , рассмотрим свойства этих множеств, используя специальную
терминологию.

Окрестностью  радиуса  точки  является множество всех точек , удаленных от  менее
чем на , т.е.

.

Заметим, что если , , то  – согласуется с ранее рассмотренным понятием –окрестности точки на числовой оси.

Если , то , , и  есть множество всех точек круга (без границы)   или .

Если , то , , и  есть множество всех точек шара (без границы)  или.

Пусть  – множество точек из , т.е. .

Точка  – внутренняя точка множества , если существует окрестность , содержащаяся во множестве , т.е.

.

Множество  – открытое в , если каждая его точка является внутренней точкой множества .

Например, каждая точка интервала  является внутренней, если , поскольку каждая точка
интервала принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.
Поэтому интервал   – открытое в  множество точек . Множество  не является открытым в , так как его точка  не является внутренней.

Точка  – граничная точка множества , если в любой ее
окрестности существует точка  из множества  и существует точка , не принадлежащая множеству .

Множество всех граничных точек множества  образует границу множества  и обозначается  (читается "гамма от дэ").

Например, точки  и  – граничные для интервала , .

Окрестность  с присоединенной границей иногда называют "замкнутым шаром" и обозначают , т.е.

.

Множество  – ограниченное в , если

.

Снова ранее рассмотренное понятие "ограниченность числового множества" согласуется с введенным понятием.

Множество  – связное в , если всякие его две точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей только из точек множества .

Всякое ограниченное связное открытое множество – область; область   вместе со своей границей  – замкнутая область.

Точка , называется предельной точкой множества , , если в любой ее окрестности существует точка ,
отличная от  и принадлежащая множеству .

Множество , , называется замкнутым в , если оно содержит все свои предельные точки.

Например,  – замкнутое в  множество,  – не является замкнутым в  множеством, поскольку  – предельная точка множества , но .

Предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать множеству.

Точка , называется изолированной точкой множества , если можно указать окрестность этой точки такую, что в ней нет других точек из множества , т.е.

.

Понятия "открытое множество" и "замкнутое множество" не
отрицают друг друга. Существуют множества открытые и замкнутые (одновременно), например множество  в , а также можно указать множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми, например множество  в .

ПРИМЕР 4. Для функции  представить на плоскости  множество точек  ее существования; указать свойства
этого множества.

Решение. , т.е. . Геометрически это множество представляется точками, заполняющими вертикальный угол между прямыми  и , точка  должна быть выброшена.

Свойства множества :

1)   – не открытое множество, так как можно указать точку, например, , которая принадлежит множеству, но не является его внутренней точкой;

2)   – не связное множество, так как не всякие две его точки
можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек множества , например точки  и ;

3)   – неограниченное множество, так как , ;

4)   – незамкнутое множество, так как оно не содержит все свои предельные точки, например точка  – предельная точка для , но .

ПРИМЕР 5. Для функции  представить в пространстве переменных  множество точек ее существования; указать свойства этого множества.

Решение. .

Множество  состоит из всех точек шара (без границы – сферы)
с радиусом 1 и центром в начале координат.

Свойства :  – открытое, связное, ограниченное,
не замкнутое множество.

Диффенцирование неявно заданной функции

Локальный экстремум ФНП Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП   в зависимости от вида множества  – множества допустимых аргументов . При этом под символом  можно понимать максимум () или минимум (), но чаще решается задача минимизации ФНП, поскольку .

Интегрирование функций нескольких переменных С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр. ). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и достаточные условия их существования.

Некоторые свойства интеграла ФНП Геометрические свойства интеграла ФНП Некоторые механические примложения интеграла ФН Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

Элементы дифференциальной геометрии.

Пусть некоторая линия  L в пространстве задана векторным уравнением  = (t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k , t1 < t < t2 .

Приращение радиус-вектора  = (t+t) – (t) определяет прямую проходящую через 2 точки L , которая при t0 превращается в касательную. Направление касательной в каждой точке кривой L задает производная d/dt = x`t i + y`t i + z`t k = (t).

Опр. Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0 , в точке  М0 , наз. плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через М0 .

Пусть L проходит по поверхности  F(x,y,z) = 0 через точку M0 .Тогда для всех точек кривой справедливо равенство  F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Это функция от t и её производная равна нулю

Данное выражение можно переписать как скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов: = 0, где  – направляющий вектор касательной


Решение типовых задач