Предел последовательности Производная функции

Векторные поля и их характеристики. Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства  М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией   = (M) = (x,y,z) = ( ) , которая наз. функцией векторного поля. В координатной форме (M) = P(x,y,z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k. Компоненты P, Q, R образуют три скалярных поля и однозначно определяют ( ) - векторную функцию от векторного аргумента. Примеры векторных полей: гравитационное поле Земли, поле скоростей стационарного потока жидкости, электрические и магнитные поля различных систем зарядов, векторное поле градиента скалярного поля, т.к. grad U формирует свой вектор для каждой точки скалярного поля U .

Определенные интегралы, несобственные интегралы

Задания для подготовки к практическому занятию

Вопросы и задачи

п1. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

п2. Как вы думаете, существует ли ? Обоснуйте ответ.

п3. Вычислите определенные интегралы:

  а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

 е) ; ж) ; з) ; и); к)

Задачи к практическому занятию

Вычислить определенные интегралы:

1.;  2.; 3.; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

9. ; 10.

11.  12.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

13. ; 14. ; 15. ; 16.

17. ; 18. ; 19.; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ; 24.

Расставить пределы интегрирования в одном и другом порядке:

,

если область D ограничена линиями: y = 2x; y = x; x = 1.

1) Чертеж области D:

2) Область D правильная относительно  0y для x[0;1] .

Нижняя граница D : y = x; верхняя граница D : y = 2x.

Поэтому : .

3) Область D правильная относительно 0X,

но для  левая граница D: ;

 правая граница D:  ,

а для   левая граница D: ;

 правая граница D: .

Поэтому область D в этом случае разбиваем на две области прямой y=1:

  и , интеграл по D представляем суммой по  и :

Ответ: 

Функции нескольких переменных Пример. Найти область определения функции

Двойной интеграл Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).

ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.

Площадь гладкой поверхности.

Понятие площади определено только для геометрических фигур на плоскости. Это количество квадратиков стандартного размера, которые умещаются на фигуре. Определение площади кривых поверхностей требует специального подхода и решается методом интегральной суммы.

Имеем гладкую поверхность G. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D. 1) Разделим поверхность G сеткой линий на m участков G1, G2, . . , Gm. 2) На каждом Gi выделим точку Мi , проведем через Мi касательную плоскость к G и спроектируем на нее точки участка Gi . В результате получим плоскую фигуру Gi* с площадью Si и вся гладкая поверхность покроется «многогран- ником». 3) Общую площадь «многогранника» определяет интегральная сумма . 4) Переход к пределу 

m дает точное значение для площади криволинейной поверхности  G


Производная функции