Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:
а)
, где
- отрезок прямой,
,
.
б)
, где
- ломаная,
,
,
.
в)
, где
- дуга окружности
,
.
г)
, где
- отрезок прямой
, соединяющий точки
и
,
и
.
Решение.
а) Так как подынтегральная функция
аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:
=
.
б) Подынтегральная функция
определена и непрерывна всюду, ломаная
представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:
.
Следовательно,
.
Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:
.
На отрезке
![]()
, значит
,
. Поэтому
.
На отрезке
![]()
,
,
. Поэтому
.
Искомый интеграл
равен
.
в) Положим
, тогда
,
. Следовательно,
=
.
г) Зададим линию
параметрическими уравнениями:
,
,
,
.
Для кривой, заданной параметрическими уравнениями
,
, справедлива формула
.
Поэтому
=
.
Теорема (о среднем значении тройного интеграла)
Если функция
непрерывна в замкнутой области D
R3, то внутри области D найдется хотя бы одна точка
, для которой выполняется равенство:
где
– объем тела D.
4. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
Для вычисления тройного интеграла от функции
по области D
R3 проецируем область D на плоскость 0XY. Обозначим эту проекцию
Пусть область D будет такой, что любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси 0Z, пересекает поверхность S, ограничивающую область D, только в двух точках. Пусть
и
– уравнения поверхностей, ограничивающих область D снизу и сверху соответственно (рис.1). Тогда можно записать:
Если область G окажется правильной
в направлении, например, оси 0Y, т.е.
, то
Рис.1
Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах
Изменить порядок интегрирования в интеграле
.
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.
Найти объем тела
, ограниченного поверхностями
Найти массу пластинки (
):
,
Найти массу тела
, ограниченного поверхностями:
;
;
;
; плотность массы тела
.
Векторный анализ. Криволинейные интегралы 1-ого рода. Задача: Кусочно-гладкая
кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y
= y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены
массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим
общую массу всей системы метод интегральной суммы. 1) Операция разбиения. Разделим
кривую L на n участков некоторыми точками А0 = А, А1, . . . , Аn = В. Соединим
соседние точки отрезками АiАi+1 длиной
si и выделим на каждом из них некоторую точку Мi(
).
Приближенно масса отдельного отрезка равна mi =
(Mi)
si , Массу всех отрезков определяет
интегральная сумма m(n) =
(Mi)
si