Предел последовательности Производная функции

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности. Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу времени. Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле U(M). Это последовательность поверхностей с постоянной температурой U(x,y,z) = C. Передача тепла идет от слоя к слою в направлении нормали к этим поверхностям, т.е. в направлении grad U в каждой точке тела. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры при переходе от слоя к слою, т.е. |grad U|

Вычислить криволинейный интеграл

по формуле Грина; замкнутый контур () складывается из двух кривых:  и  (см. рис. 80).

РЕШЕНИЕ.

 Преобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина

.

Для заданного по условию интеграла получим .

Вычислим двойной интеграл в декартовой системе координат. Имеем:

Рис.80

Замечание. Двойной интеграл может быть вычислен и в полярной системе координат:

.

Ответ. .

вычислить , если AB – отрезок прямой от точки A (0;0) до точки B(4;3). Прямая AB: y = kx, при x = 4 и y = 3:

3=4k ; т.е. AB:

Ответ: 

Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности :

Вычислить работу силы  при перемещении единичной массы вдоль кривой  линии пересечения двух поверхностей:  от точки  до точки 

 

Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке , а также найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля .

Убедиться в потенциальности поля вектора ,

Исходя из определения производной, найти f ¢(0) для f(x)=

Криволинейный интеграл 2 рода. Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является проекция длины кривой на ось Оx или Оу или Oz . Интеграл 2-ого рода получается из интеграла 1-ого рода простой заменой ds на dx, dy, dz . В конкретных задачах при прохождении контура L часто возникает необходимость вычислять интегралы по всем трем проекциям, причем, от разных функций. Поэтому в общем случае криволинейный интеграл 2-ого рода записывается в виде
Производная функции