Функция нескольких переменных и ее частные производные
Определение функции нескольких переменных
Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).
Обозначается: z = f (x, y) или z = z (x, y).
Пример.
.
Аналогично определяются функции трёх и более переменных.
Примеры.
– функция трёх переменных;
– функция n переменных.
Общее название: функции нескольких переменных (ФНП).
Частные производные ФНП
Ели одному из аргументов функции z = f (x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов:
– это частное приращение функции z по аргументу x;
– это частное приращение функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример.
Þ
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФНП
Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной:
Здесь
– дифференциал
-го порядка функции
в точке
, его можно записать в операторной форме
,
где
– фиксированная точка;
,
,
,
– имеют
постоянные значения. Черезобозначен остаточный член
Полное приращение и полный дифференциал ФНП Частные производные ФНП, заданной неявно
Экстремумы ФНП Локальные максимумы и минимумы ФНП Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0):
.
Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
Функции комплексной переменной Определение и свойства функции комплексной переменной Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество D комплексных чисел z = x + iy, где i – мнимая единица (i2 = –1), на второй – множество G комплексных чисел w = u +iv.
Пример Проверить аналитичность ФКП
.
Вычисление интегралов. Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования. Прямоугольные координаты - x, y, z При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z . Цилиндрические координаты - r, j, z . Сферические координаты - r, j, q . Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.