Тройной интеграл Объём цилиндрического тела

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности. Основные свойства интеграла. Постоянный множитель выносится за знак интеграла Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов Аддитивность области интегрирования. Интеграл от функции f(x,y,z) = 1 численно равен объему области интегрирования V Тройной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение объема, области интегрирования V , на значение функции f() в некоторой точке,  т.к. любому телу с переменной плотностью всегда можно сопоставить тело с постоянной плотность f() = m/V при таком же объеме V и массе m . Точка с координатами  () всегда существует в области V.

Функция нескольких переменных и ее частные производные

Определение функции нескольких переменных

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).

Обозначается: z = f (x, y) или z = z (x, y).

Пример. .

Аналогично определяются функции трёх и более переменных.

Примеры.  – функция трёх переменных;

  – функция n переменных.

Общее название: функции нескольких переменных (ФНП).

 

Частные производные ФНП

Ели одному из аргументов функции z = f (x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – это частное приращение функции z по аргументу x; – это частное приращение функции z по аргументу у.

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

– это частная производная функции z по аргументу x;

– это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример.  Þ

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФНП

 

Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной:

Здесь  – дифференциал -го порядка функции  в точке , его можно записать в операторной форме

,

где  – фиксированная точка; , , ,  – имеют
постоянные значения. Через  обозначен остаточный член

Полное приращение и полный дифференциал ФНП Частные производные ФНП, заданной неявно

Экстремумы ФНП Локальные максимумы и минимумы ФНП Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0): .

Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Функции комплексной переменной Определение и свойства функции комплексной переменной Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество D комплексных чисел z = x + iy, где i – мнимая единица (i2 = –1), на второй – множество G комплексных чисел w = u +iv.

Пример Проверить аналитичность ФКП .

Вычисление интегралов. Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования. Прямоугольные координаты - x, y, z При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z . Цилиндрические координаты - r, j, z . Сферические координаты - r, j, q . Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

 


Определение функции нескольких переменных